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下文转自科学演绎法，[遇见数学]已获转发授权。 现代微积分是在 17 世纪的欧洲由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨（相互独立，在同一时间首次出版）发展起来的，其元素最先出现在古希腊，然后在中国和中东，再次在中世纪的欧洲和印度。 古代
在古代数学中，产生了一些引申出后来积分学的思想，但当时对该些思想的探讨方式并不严格、系统。埃及的莫斯科数学纸草书（c. 1820 BC）记载了对不同种类的体积和面积的计算，而这即是积分学的目标之一。不过它的公式只属简单指示，没有提及推导方法，有的公式也只是粗疏的估算。
积分的起源很早，古希腊时期欧多克索斯（约公元前408-355年）就曾用穷竭法来求面积与体积。阿基米德（约公元前287-212年）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率的近似值；也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这些都是穷尽法的古典例子。
中国的刘徽在公元三世纪也应用穷竭法求圆的面积。在公元五世纪，祖冲之采用祖暅原理计算出球体积，该原理后来也被称之为卡瓦列里原理。 现代虽然微积分的许多思想在希腊、中国、印度、伊拉克、波斯和日本已经发展起来，但微积分的应用始于欧洲。 欧洲文艺复兴之后，基于实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便，杰拉杜斯·麦卡托发明了所谓的麦卡托投影法，使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。 在欧洲，基础性的论证来自博纳文图拉·卡瓦列里，他提出体积和面积应该用求无穷小横截面/段的体积/面积的总和来计算。他的想法类似于阿基米德在《方法论》（The Method）所提出的，但是卡瓦列里的著述丢失了，直到 20 世纪初期再被找到。卡瓦列里的努力没有得到认可，因为他的方法的误差巨大，而且他提出的那些无穷小的量一开始也不获认同。 17 世纪的前半是微积分学的酝酿时期，观念在摸索中，计算是个别的，应用也是个别的。而后戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿两人几乎同时使微积分观念成熟，澄清微、积分之间的关系，使计算系统化，并且把微积分大规模使用到几何与物理研究上。 在他们创立微积分以前，人们把微分和积分视为独立的学科，之后才确实划分出“微积分学”这门学科。 在对微积分的正式研究中，卡瓦列里提出的无穷小量，与当时在欧洲发展起来的有限差分演算连系到了一起。皮埃尔·德·费马声称他借用了丢番图的成就，引入了“准等式”（adequality）概念，表示两个项在除却一个无穷小误差项下等同。而把无穷小量与有限差分演算连系起来的工作，是由约翰·沃利斯、伊萨克·巴罗和詹姆斯·格雷果里完成的。后两者在 1670 年左右证明了微积分第二基本定理的最初形式。
牛顿的老师伊萨克·巴罗虽然知道微分和积分之间有互逆的关系，但他不能体会此种关系的意义，其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功给予西方数学非常深远的影响：一般认为唯有几何的论证方法才是严谨、真正的数学，代数不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费马倡导以代数的方法研究几何的问题，这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深植人心，而另一方面代数方法仍然未臻成熟，实数系统迟迟未能建立，所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能发展出有效的计算方法，巴罗便是其中之一。牛顿虽然放弃了他老师的纯几何观点而发展出了有效的微分方法，可是他迟迟未敢发表。虽然他利用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，但因害怕当时人的批评，所以在他 1687 年的巨著《自然哲学的数学原理》中仍把微积分的痕迹抹去，而以古典的几何论证方式论述。
牛顿利用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，解决天体运动，流体旋转的表面，地球的扁率，摆线上重物的运动等问题。牛顿在解决数学物理问题时，使用了其独特的符号来进行计算，并提出了乘积法则、链式法则、高阶导数、泰勒级数。在其它著作中，牛顿给出了函数的级数展开式，当中包括分数和无理数的乘幂，而且明显地牛顿知道泰勒级数的原理。但是他没有发表所有的这些发现，因为无穷小方法在当时仍然饱受争议。
上述思想被戈特弗里德·威廉·莱布尼茨整合成为真正的无穷小演算，而牛顿指责前者抄袭。莱布尼茨在今天被认为是独立发明微积分的另一人。他的贡献在于成功提供一套明确的规则来处理无穷小的量，能够允许计算二阶或更高阶的导数，以微分和积分的形式给出乘积法则和链式法则。与牛顿不同，莱布尼茨很注重形式，往往花上数天决定对概念予以什么适当的符号。 莱布尼茨和牛顿都被普遍认为是独立的微积分发明者。牛顿最先将微积分应用到普通物理当中，而莱布尼茨创作了不少今天在微积分所使用的符号。牛顿、莱布尼茨都给出了微分、积分的基本规则，二阶与更高阶导数，近似多项式级数的记法等。在牛顿的时代，微积分基本定理是已知的事实。
当牛顿和莱布尼茨第一次发表各自的成果时，数学界就发明微积分的归属和优先权问题爆发一场旷日持久的大争论。牛顿最先得出结论，而莱布尼茨最先将其发表。牛顿称莱布尼茨从他未发表的手稿中盗取了想法，皇家学会的一些成员也跟牛顿持同一观点。这场大纷争将使数学家分成两派：一派是英国数学家，捍卫牛顿；另一派是欧洲大陆数学家。结果是对英国数学家不利。日后对牛顿和莱布尼茨的论文的小心检视，证实两人是独立得出自己的结论。莱布尼茨从积分推导，牛顿从微分推导。在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立创始者。不过，“微积分”之名则是莱布尼茨所创。而牛顿将其成果称为“流数术”（method of fluxions）。
微积分实际被许多人不断地完善，也离不开巴罗、笛卡儿、费马、惠更斯和沃利斯的贡献。最早的及最完整的一部有关有限和无穷小分析的著作由玛利亚·阿涅西于 1748 年所著。 牛顿和莱布尼茨虽然把微积分系统化，但是它还是不够严谨。可是当微积分被成功地用来解决许多问题，却使得十八世纪的数学家偏向其应用，而少致力于其严谨。当时，微积分学的发展幸而掌握在几个非常优越的数学家，如欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔及伯努利世家等人的手里。研究的问题由自然现象而来，所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论，使微积分学不因基础不稳而隐含错误。在这些众数学家的手中，微积分学的范围很快地超过现在大学初阶段所授的微积分课程，而迈向更高深的分析学。 上文由'科学演绎法'整理节选自维基百科。 |
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