小学奥数-巧算尾数和余数

自然数的尾数：就是自然数末位的数字。

余数：就是在做除法算式中，用被除数减去商与除数的积余下来的数。

自然数尾数的性质：

1.一位数的尾数就是它本身。

2.两个数和的尾数，等于两个数尾数之和的尾数。

3.两个数差的尾数，等于两个数尾数之差，当尾数不够减时，被减数的尾数加10再减。

4.一个自然数的10倍的尾数是0。

5.两数积的尾数，等于两个因数尾数的积的尾数。

6.几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾数。

余数的性质：

1.如果a、b除以c的余数相同，那么a和b的差能被c整除。比如：17和11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

2.余数要一定小于除数。

3.被除数=除数×商+余数。

解答这类问题，在计算中，我们可以运用如下方法：

1.根据题目中各数的特点，找出数字出现的规律，并确定周期，根据周期求问题。

2.循环小数的问题，要通过计算得出商，找出循环节是由哪几个数字组成的，周期就是几。

3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，看前多少位能被这个数整除，还余多少，把这个余下来的数除以某数，就直接求出余数了。

精讲1：写出除215后余5的全部两位数。

分析：因为215=210+5，把210分解质因数:210=2×3×5×7， 所以，符合题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，2×5×7=70。 一共有8个两位数10、14、15、21、35、30、42、70。

答：除215后余5的两位数有10、14、15、21、35、30、42、70。

精讲2：

解：（1）因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个56相乘，个位还是6；

（2）每个括号里31乘25积的个位是5，我们只要分析100个5相乘，积的尾数是几就行了。因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个（31×25）连乘，积的个位还是5。

精讲3：（1）

积的个位数是几？

（2）

积的个位数是几？

解：（1）用乘法在乘的过程中，我们可以发现，30个8相乘时，积的个位是以“8，4，2，6”四个数字不断重复出现，周期是4。30÷4＝7……2，余数是2，说明30个8的乘积的个位是4。

（2）我们先列举前几个14的积，看看个位数在怎样变化，1个14个位就是4；14×14的个位是6；14×14×14的个位是4；14×14×14×14的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。周期是2。40÷2＝20，没有余数，说明40个14相乘，积的个位是6。也可以理解为乘数的个数是单位时积的个位是4，双数时积的个位是6，40是双数，积的个位是6。

精讲4：把1/14化成小数，那么小数点后面第78位上的数字是多少？

分析：因为1/14=0.0714285714285……，化成小数是一个无限循环小数。循环节“714285”共有6个数字。由于它是从小数点后第二位开始循环的，所以要从78里去掉一位。即有（78-1）÷6=12……5。所以，小数点后面的第78位是第13个循环节中的第五个数字。是8。

答：第78位上的数字是8。

精讲5：

解：我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。从竖式中可以看出4个1，即1111除以6后，商分别是商1余5，商8余3，商5余1，第5个1后又出现商1余5。所以以后每出现3个1就出现一个185的商，对应的余数分别是5、3、1。而150-4＝146，146÷3＝48……2，这样第49组的第2个商就是8，则余数为3。