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丢番图方程是数学研究的最古老、最广的对象之一，它是一个具有几个未知数和整数（或有理数）系数的代数方程或方程组，它的求解需在整数（或有理数）范围内进行。丢番图方程的名字源自于古希腊亚历山大城的数学家丢番图（Diophantus of Alexandria），他在著名的《算术》一书中就讨论了这类方程。 丢番图方程的最著名一个例子是在费马大定理中的出现。这是费马在1637年所作出的一次没有经过论证的陈述：关于X、Y、Z的丢番图方程Xⁿ Yⁿ = Zⁿ，在n至少为3时，除了XYZ=0时出现的平凡解之外，没有其他整数解。对这一方程的研究促进了数论在许多方面的发展。到了1995年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）才最终证明了这个定理。 人们想回答的一个基本问题是：一组给定的方程组是否有解？如果有的话，我们如何找到或描述它们？虽然费马方程没有非平凡解，但是类似的方程（例如X⁴ 15Y⁴=Z⁴）却可以有非平凡解。在发表于1900年的著名的“希尔伯特的23个问题”中，其中一个就是关于丢番图方程的可解性：对于一个给定的丢番图方程组，是否可以用一种算法来判断它是否有整数解。这实际上是在问计算机程序是否可以检查可解性。马丁·戴维斯（Martin Davis）、尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich）、希拉里·普特南（Hilary Putnam）和茱莉亚·罗宾逊（Julia Robinson）在1970年的研究工作表明，根本没有这样的算法。即使对于平面三次曲线来说，有理解的相应问题是否可判断也仍然是未知的。这一最后的问题与克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）的奖金百万美金的一个千禧年问题——贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（BSD猜想）有关。 我们可以认为有限解的存在仅仅是偶然的，并试图去判断一个给定的方程组是否有无穷多个解。例如，我们都知道对于任何的非零有理数a、b和n ⩾ 4来说，方程axⁿ byⁿ = 1只能有有限多个解。这是法尔廷斯（Gerd Faltings）在1983年证明的莫德尔猜想（Mordell conjecture，于1922年提出）的结果中的一种特殊情况。人们可以为能有多少解给出一个上限，但到目前为止，没有人能够限制这些解可能有多“复杂”（也就是说给分子和分母一个最大值），因此我们没有已知的能找到所有解的方法。 欧拉猜想进一步地强化了费马大定理：如果n个整数的k次幂之和等于一个整数的k次幂，那么n ⩾ k。对于n=2，这就回到了费马大定理。但是，这个猜想是错误的！1966年，Leon Lander和Thomas R. Parkin发现了一个n=4时的反例：27⁵ 84⁵ 110⁵ 133⁵ = 144⁵。1986年，美国数学家Noam Elkies又发现一个n = 3的反例。 理解丢番图方程的解当然不是一件易事。但我们可以提出一些更温和的问题。例如考虑解方程X⁵ Y⁵ = Z⁵ T⁵的正整数解X、Y、Z、T。在{X,Y} = {Z,T}这种情况下，它有无穷多个“明显的”解。人们相信，但不知道，这些是唯一的解决办法。否则，我们无法知道是否可以用两种方式将一个整数写成两个5次幂的和。但它已在1936年和1964年被证明，如果我们记录大量的解，那么会发现明显的解远多于不明显的解。 丢番图方程的研究方法多种多样，其中包括代数，特别是代数几何，还有各种分析方法（使用微积分），以及来自数理逻辑的方法。 原文链接： https://www.maths./about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/d-diophantine-equations |
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