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可能没有任何学科或者知识有几何对人类的影响大。到了现代，甚至我们强迫上学的小学生中学生学习几何知识。几何是不是培养了我们的心智，似乎科学家也没有深入研究。但有一点是肯定的，人的逻辑思维非常重要，而几何题的训练，对提高人的逻辑思维能力有很大的作用。可以说找不到第二种知识来代替几何去训练人的大脑，所以几何课程就几乎贯穿了上千年的人类文明史。 大家好，今天伟岗给大家谈谈几何的起源和发展。 可以说除了对后世数学的预计（比如芝诺悖论预示微积分的发明，尺规作图预示群论的产生等），古希腊数学家最主要的贡献就在几何上。是他们建立了完美的几何理论，同时从公理出发，建立了一系列的演绎推理规则，使几何乃至数学真正成了一门科学。 毕达哥拉斯只是把数抽象出来，这使得数学成为一门学科有了可能，真正是几何的深入研究，才奠定了古希腊数学家数学先驱的名声。 大家都知道几何来源于一部到现在还是数学名著的巨著：《几何原本》。只可惜《几何原本》的作者欧几里得的生平已经没有办法考证，有很多数学史家甚至认为几何原本是很多人的文献合集。历史就是这么无情，很多资料都在战乱和人为毁坏下失传了。 不过谁也不会否定《几何原本》的伟大。它是除圣经以外，印刷量最大的图书。我们中学所学的几何内容，几乎全部来源于《几何原本》。直到今天，全世界所有学数学的人都必须先掌握《几何原本》的一些内容才能进一步探索数学，没有其他路径。历史上很多影响深远的数学经典名著都是模仿《几何原本》格式写的，也就是说《几何原本》定义了很多数学专著的形式。比如牛顿的《自然哲学的数学原理》和高斯的《算术探究》就是这样。考虑到《几何原本》成书于公元300年前，后人还没有对此书进行过什么勘误和修改（可能早期有一些希腊数学家进行过一些修订，不过那也是2000多年前的事了），这简直就是一个奇迹。一部科学著作，几千年都保持不变，而且还受到大家的追捧，这很有点让人难以置信。历史上还真没有发生过同样的事。 《几何原本》有23条定义，5条公设，5条公理。逻辑这么清楚，简洁，真不相信这部书是2000多年写的。23个定义主要是点，线，圆，角，三角形，四边形，平面，图形，边界，平行线等的描述。5个公理和5个公设我们前面谈过。 理论上，公设就是公理，都是开始数学研究所必须遵循的约定。那为什么欧几里得要把公设和公理分开呢？有各种解释，大家认可的解释是欧几里得想专门针对几何给出几条公理，这些就是公设了。这也不能完美解释公设与公理的区别，因为既然《几何原本》开始是研究几何的，你可以全部把公设说成公理啊（我们后人基本也是这样做的，所以后来的数学体系中公设就没有了），没必要区分。伟岗认为关键问题出在第五公设上，由于有第五公设的存在，欧几里得才把公设和公理分开，这样大家可以有机会质疑公设的合法性，但是公理就是肯定成立了。 《几何原本》的内容非常广泛，除了有丰富的几何题，还有一些代数和数论方面的知识。你甚至从一些直线上的正方形和矩形的例子中，发现现代方程式的影子。这也许是这本书目前还能够流行的一个原因。 当然，最重要地是，这部书逻辑思维条理特别清楚，一步一步，没有任何错误。要想到这部书是2000多年前写的，那时候数学才刚刚开始，竟然能有这么理性的书籍，真是人类文明的幸运。书里面有毕达哥拉斯定理的完美证明，里面甚至还有立体几何的内容，这一切都叫人叹服。 古希腊通过《几何原本》奠定了它在数学发展史上的重要地位，而要探索为什么古希腊能产生这么伟大的科学作品，就很难有确切的答案了。 可以说古希腊人吸取了古埃及和古巴比伦人几乎所有的精华，在深入地加以研究，建立了一个完美的数学几何体系。是什么使得古希腊人跟别的地方的人不同，能够专心致志地发展科学呢？ 从地理位置上讲，古希腊没有优势，虽然它一面朝海三面环山，但海的范围不宽，远远不能抵御从海上攻进来的敌人。而且古希腊的那个年代，人类还处于文明的萌芽期，甚至连宗教都没有统一，更别说科学了。大家信奉就是强权，也就是战争。国与国之间的问题几乎都是靠战争解决的。古希腊不可能强到战无不胜的程度，被灭国几乎是必然的。 所以留给古希腊人发展科技，哲学和文学的时间周期非常短，如果只算鼎盛时期，也就是100年左右，如果算整个发展期最多也就300到400年的时间。 这短短的300,400年时间，放在任何国家，在当时的历史环境下，几乎什么事都做不了。而古希腊不同，它不但建立起了以数学为标杆的科学体系，更在哲学和文学方面取得了不朽的成就。苏格拉底，柏拉图，亚里士多德哪个不是名垂青史的哲学家？他们的思想，言论甚至对现代人都很有指导意义。 文学上，希腊神话到至今还在流传。荷马史诗更是西方文学的标志性作品。还有伊索寓言，到现在还有教育意义。这一切都产生于古希腊，实在叫人难以相信。 那到底是什么使得古希腊人创造了人类文明发展史上的第一个奇迹呢？这方面文献还真的不多。古希腊采用的是城邦制，有点类似我们中国的诸侯制，不过古希腊没有皇帝，相比较而言，应该组织更松散一些。平时没事，大家各顾各，一旦有外敌侵入，马上联合起来，共同对敌。 古希腊有两个城邦历史上很有名，一个就是雅典，一个就是斯巴达。雅典是领头羊，古希腊名人基本都出自雅典，另一个斯巴达，号称战神之邦。也就是一切都为了打仗。据说，如果小孩有点弱，应付不了战争的残酷，斯巴达人直接把他们处死，由此可见斯巴达人对打赢战争的决心。按照传说中的故事说，波斯大军侵略斯巴达时，下战书要斯巴达人投降，战书说，如果等到大军打进来，我们会烧掉你们的城市，杀死你们所有的男人等等。斯巴达人只回答了一个字“如果（英语叫if，所以是一个字）”。字里行间体现出斯巴达人视死如归的决心，这在历史上也是非常有名的。 雅典和斯巴达结盟还真的打败了波斯大军。只可惜各自的利益有冲突，所以最后雅典跟斯巴达竟然打起来了，最后两败俱伤。面对历史上少有的战神之神亚历山大，古希腊城邦不可避免地被击破了。随着亚历山大军队的占领，古希腊文明还维持了一段时间，不过很快就消亡了。所以古希腊的城邦制还是非常关键的。 古希腊城邦里少有地实行民主制。可以说古希腊民主是现代民主的鼻祖。不过由于时间的变迁，现代民主跟古希腊民主可是大相径庭。这就是社会科学跟自然科学的不同。社会科学比自然科学要复杂得多，一本《几何原本》可以几千年都照搬不变，一个制度就不行了。这说明社会的组织形态比科学家想的要复杂得多。 没有人论证古希腊的民主制度跟它的数学发明有必然的关系，社会的繁荣是个很奇妙的现象。首先它基本是昙花一现。除了现代几个发达国家的繁荣保持了很长时间外，历史上所谓的盛世都是很快被一些说不清的原因打破。而且很多还被彻底打回了原形。比如古希腊文明，自从衰败后，再也没有恢复过来。就是到了现代，希腊也只能勉强算个发达国家。科学技术不领先不说，大科学家很少产生。谈到希腊科学家，大家自然只能想到古希腊的科学家，这不知道是好事还是坏事。 我们还是回到几何的话题。欧几里得开创了一个崭新的数学天地。不过有点太完美，所以在很长时间里，几何几乎没有什么大的突破。虽然后来阿基米德在求面积和圆锥曲线等方面有很多突破，但那一些创造性的工作后来数学家发现还是用代数的方法来解决比较好。几何学，可以说欧几里得的《几何原本》达到了一个顶峰，很久时间都无人超越。直到数学家对第五公设发起挑战。这个挑战不仅仅是一条平行线那么简单，它把人类的思维带到了一个没有直观意义的世界。从某个意义来讲，数学家更喜欢非欧几何，因为那个领域更需要想象力，更具有挑战性。 初等几何可以说有了《几何原本》基本上所有内容都有了。数学家当然不会满足于这个标准。所以说数学家既是孤独的思考者，更是不满足现状的勇士。这也不奇怪，喜欢思考的人有哪个会安于现状的？ 关于针对非欧几何方面数学家的探讨，篇幅就比较长了，我们只能留在下一篇再聊了。文章结束之际，还是要感谢各位朋友同学的鼓励打赏！ |
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