期末考试迫在眉睫,因此,计划用3-4讲,做一个全面的知识点与易错题梳理,希望对广大考生有帮助.本讲针对一次函数中一些小的知识点,作再一次的归纳. 例1: 已知一次函数y=(4-2m)x-(m-3),求m的值或范围. (1)y随x的增大而增大. (2)图像经过一、二、四象限. (3)图像经过一、三象限. (4)图像不经过第三象限. (5)图像与y轴交点在x轴上方. 分析: 这类题目常考常错,很多学生头脑混乱,必须梳理清楚. 首先,确定式子中谁是k和b. k是(4-2m),b是-(m-3),注意,要带上前面的负号! 其次,明确k和b的作用. k,确定函数的增减性, k>0,y随x的增大而增大,图像必过一三象限. k<0,y随x的增大而减小,图像必过二四象限. b,确定函数图像与y轴的交点, 若b>0,则交于y轴正半轴,即x轴上方, 若b<0,则交于y轴负半轴,即x轴下方. 例2: 已知一次函数y=kx+b-x的图像与x轴的正半轴相交,且函数值y随x的增大而增大,求k,b的范围. 首先,我们要将一次函数进行化简, 得到y=(k-1)x+b 此时,k-1作为k,根据题意可求范围.值得注意的是,这里问的是与x轴的交点,则可以画草图确定b的范围. 例3: 请在同一直角坐标系内,画出y=kx+b与y=kbx(k,b均不为0)的图像的所有可能情况. 我们可以先根据k,b的情况,画出一次函数的图像, 再根据kb的正负性,确定正比例函数的图像. 例4: 按要求求函数解析式 (1)已知y+2与3x成正比例,当x=1时,y=4. (2)直线y=kx+b过点(2,-1),直线y=x+3交于y轴同一点. (3)直线y=kx+b过点(2,-1),与直线y=x+3平行. (4)直线y=kx+b过点(2,-1),与直线y=x+3交于点(a,4). 分析: 错因如下: (1)该题错误率很高,主要在于求出所设的k后,直接写成了y=kx的形式,注意,应将k代回原解析式. (2)有部分同学解题时,似乎不知道交点在哪,其实就是y=x+3与y轴的交点啊. (3)忘掉了两直线平行时, k相同. (4求不出a,思维不灵活,(a,4)也在y=x+3上,代入即可求a. (1)设y+2=k·3x 把(1,4)代入得 6=3k k=2 ∴y+2=6x, y=6x-2 (2)由题意得,交点为(0,3) 设y=kx+3 把(2,-1)代入得, 2k+3=-1,k=-2 ∴y=-2x+3 (3)由题意得,设y=x+b 把(2,-1)代入得, 2+b=-1 b=-3 ∴y=x-3 (4) 把(a,4)代入y=x+3得, a+3=4,a=1 ∴交点为(1,4) 设y=kx+b 把(2,-1),(1,4)代入得 ∴y=-5x+9 例5: y=2x+2的图像如何平移经过点(1,-4)? 分析: 一次函数图像的平移,是直线的平移,无非是上下平移,或者左右平移,而直线是由无数个点组成,我们在平移时,只需牢记两点, 上下平移,抓图像与y轴交点的坐标, 左右平移,抓图像与x轴交点的坐标, 利用通法,可以解决所有平移问题.但如果深入研究,你会发现: 令横坐标相同,可以研究上下平移, 令纵坐标相同,可以研究左右平移, 比通法再简单些. 法1: 设经过点(1,0)的直线解析式为y=2x+b 把(1,-4)代入得 y=2x-6 (1) y=2x+2与y轴交点(0,2) y=2x-6与y轴交点(0,-6) (0,2)向下平移8个单位到(0,-6) y=2x+2向下平移8个单位过点(1,-4) (2) y=2x+2与x轴交点(-1,0) y=2x-6与x轴交点(3,0) (-1,0)向右平移4个单位到(3,0) y=2x+2向右平移4个单位过点(1,-4) 法2: (1) y=2x+2,令x=1,y=4 (1,4) 向下平移8个单位到(1,-4) y=2x+2向下平移8个单位过点(1,-4) (2) y=2x+2,令y=-4,x=-3 (-3,-4) 向右平移4个单位到(1,-4) y=2x+2向右平移4个单位过点(1,-4) 例6: 求将y=2x+3向下平移4个单位,再向右平移2个单位的函数解析式. 分析: 依旧应该抓点的坐标,此时我们应该知道,任意一点坐标皆可,但选择与y轴交点坐标,计算量最小. 当然,如果在课外知道平移口诀“上加下减,左加右减”,对于这类告诉具体平移量的填空选择题,还是可以一用的. 法1: y=2x+3与y轴交点(0,3) (0,3) 向下平移4个单位, 再向右平移2个单位到(2,-1) 设平移后y=2x+b 把(2,-1)代入得 y=2x-5 法2: y=2(x-2)+3-4 =2x-5 例7: 如图,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则关于x的不等式x+b>kx+6的解集是__________. 分析: 这题,很多同学的第一想法,就是把点P的坐标代入两个解析式,求出解析式后再解不等式,这样的做法固然不错,但还是太麻烦了. 我们应该这样考虑,x+b=kx+6,即找到两函数值相等时x的值,即求两图像的交点的横坐标,此时x为3. x+b>kx+6,说明对于同样的x,函数y=x+b的值大于函数y=kx+6的值,在图像上,即直线y=x+b的图像在直线y=kx+6的上方,只需观察对应的x在3的左侧还是右侧. 例9: 已知一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,求一次函数的解析式. 分析: 这类题,很多学生无从下手,但其实不难. 由于一次函数的图像是一条直线,它的增减性不会变化,要么随x增大而增大,要么随x增大而减小,因此,给出了自变量和函数的取值范围,即知道了2个临界点的坐标,或(1,3),(4,6),或(1,6),(3,4). 把(1,3),(4,6)代入得 y=x+2 把(1,6),(3,4) 代入得 y=-x+7 综上y=x+2或y=-x+7 例10: 如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b). (1)求b,m的值. (2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D, 若线段CD长为2,求a的值. 分析: (1) 先将点P坐标代入l1,可求b,再代入l2,可求l2解析式. (2) 两解,CD若在P点左侧,则yD-yC=2,CD若在P点右侧,则yC-yD=2.
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