论战中考数学之说“圆”：躲不开的“圆”，躲不开的“圆切线”

xrz123 2018-12-18

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初中数学体系中，《圆》是独立成章的内容，自然就是中考“照顾”的内容。“圆”的内容相对简单，除去早已熟悉的半径直径，再有就是圆周角圆周心角、弧长定理等。在这些内容中，最重要的莫过于“切线定理”，尤其是“切线定理的判定”，分析圆的中考综合题型，很多涉及“有圆的地方”就会出现“圆切线”。

一、“圆切线”定理回顾：

1、数量关系：圆心到切线的距离等于圆的半径，“切线长”是指一条切线的长度，“切线”是与圆相切的“直线”。（说明：①圆的切线不止一条，而是无数线。②切线与圆心的距离等于半径。）

2、切线判定定理的两个条件：①直线与圆有公共点；②直线与过公共点的半径垂直；③切线垂直于过切点的半径。

3、“切线长定理”的隐含内容：

①若一个圆的两条切线相交，则这两条切线长相等；②从圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点，可以等到一个等腰三角形；③圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线的夹角（可以简单理解：圆心与两条切线交点的连线，是两条切线夹角的角平分线）；④经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角一迅切点的两个半径的夹角互补；⑤若一个圆的两条切线平行，则两条切线之间的距离等于圆的直径。

4、切线的判定方法可以论证圆外直线与圆是否有交点，有几个交点的关系进行判断，本质上还是对直线和圆的距离，与圆半径的大小比较。

5、可能用到知识：

①弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。简单的说：“等弧对等角，等弧对等边，等边对等弧，等角对等弧。”

二、切割线定理：

1、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。这个定理阐述“从圆外一点，同时引圆的切线和割线时，切线与割线之间的数量关系”，因此，可以从“数值关系式”的角度更方便理解。

2、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。即：把原理中的“切线与割线”的关系，推化为“割线与割线的关系式”。

三、添加辅导线方法

在圆的切线判定过程中，常用的添加辅导线方法有两个，原则多是“连接过切点的半径”：

1、直线与圆的公共点明确时：过公共点“连半径，证垂直”；

2、直线与圆的公共点不确定时：过圆心“作垂直，证半径”。概括叙述是：“见切点，连半径，得垂直”。

需要注意的是：在求切线与圆心的距离时，直角三角形具有特殊性，可以利用“两条直角边的积等于斜边与斜边高的积”这个等式关系，求出圆心到直线的距离。

三、补充知识：

利用弦切角定理，可以快速得到角与弧之间的关系。在有关圆直线、角度的求证时，比较方便快捷。

1、弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

2、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧的圆周角度数。

3、弦切角定理的推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。

四、【例释】中考题目中，论证圆切线的关系，通常有两类题型：一是直接考证圆在运动过程中，与直线的交点，这是偏重用动点考查，需要分清圆的具体运动过程，会与一次函数、旋转对称、二次函数结合；二是作为求证和计算题的一部分出现，由于切线意味着垂直，则考点多会涉及：三角形相似、勾股定理、三角形全等、三角函数等重点知识点。