（原创）有角不求角，角想干什么？

（原创）有角不求角，角想干什么？

微风

2018-07-26 阅读1272

岫壑浮云 - 陈悦

在此《……辅助线并不神秘》的第七季，先谈一些在实践中慢慢悟得的属于隐性主线方面的知识。然后再利用试题示例，着重谈谈面对角信息，怎样考量添线构形的应用性知识。即用“先说后做”的方式，去谈一些对隐性深层知识的认识和感悟。

一、 逻辑思维需要其他能力支撑 逻辑思维能力是认识事物，从掌握知识到创造性地应用知识不可缺少的一种能力。诺贝尔奖获得者杨振林教授说：“优秀的学生不在于优秀的成绩，而在于优秀的思维方式，逻辑思维可以说是优秀思维方式的精品。”现仅从四个小角度浅淡逻辑思维需要其他能力支撑的肤浅感悟。 1、不拘一格地打牢基础知识。

没有牢固的基础知识作为后盾，逻辑思维无从谈起。对每个基础的知识小系统，不仅要理解正确、运用熟练，还要视野宽广地建构相关的深层应用性知识，所以，需要有良好的批判性精神和创新创造的激情。

例如，在讲述等腰三角形精彩的“三线合一”

时，就应讲直角顶点是“暗中点”的深层知识精彩。在讲对顶角时，就必须讲在任意一个角的顶点处，都有或明或隐的四个角。这样，当知道某个点处一个角的数量时，就会马上意识到，该点处的其它三个或明或隐的角都能导出来。简言知，知一角点量，四角全知道。再如，在讲平行线知识的初始阶段，就要少讲“三线八角“，因为学生认识有“八角”是不难的，所以，紧扣着“二点三线“（第六季有示例）的考量，去帮助、指导学生审题识图，打造出的知识基础，才是牢靠的，才会走得更顺、更远，飞得更高。

2、 拓展模型思维和直觉、联想思维能力。 逻辑思维，强调推理、推导。

模型思维是具有整体性数学思维风格的一种高级的思维活动。模型思想是数学的核心思想。 直觉思维注重第一印象，第一感觉。是未经逐步分析的直接性认为，有对问题有“灵感”和“顿悟”的突然“预感”性特点。直觉在解题活动中有着非常积极的作用。所以，应该注重提升直觉思维能力。

联想思维是由某事件而引起的相关思考，人们常说的“由此及彼”，“由表及里”、“举一反三”等就是联想思维的体现。 学生学习非常刻苦，但是成效并不理想。基本上都是模型思维和直觉思维、联想思维能力未能得到良好发展而造成的。 直觉思维和联想思维，需要坚实的知识基础支撑。它们是一种自己熟悉的，习惯的认识事物的想象力。它们是良好思维习惯和良好思维风格培养下的一种反应能力。这种具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点的想象反应越丰富，对此问题与彼问题之间的多种多样的联系“预感”反应力越强，就会在认识和解决问题的经验性“预言”中，催生依据内因的直觉和联想感知，迅速地对问题解析作出有猜想、有设想支援下的逻辑思维逐步展开。所以，要根据已有的数学活动经验，去建构运用性的深层知识系统，并尽可能以一种自我掌控的模型形式，去存储具有整体性思维风格的那些知识。这样，在面对诸多千变万化的数学问题探究时，就会一被那些问题的情景所刺激，就催生出自由的、自发的，灵敏的直觉思维嗅觉和灵活智慧的联想思维，从而快捷地提取属于自身数学心的，有心动的，有利于有效解决问题的可靠数学模型，去诱发和展开后续有方向性的逻辑推理。

　　实际上，基础教育阶段的数学学习，就是在学习建构一些数学模型和解决这些模型问题的知识。数学必然与模型打交道。加、减、乘、除就是四个极其基础的模型。加减乘除的混合运算，就是一种混合型的模型。 全等三角形和等腰三角形就是都能够解决等线、等角问题的一种模型。只不过前者是让等元素在两个三角形中导来导去，而后者是在一个三角形中，将等线和等角变来变去。 所谓行程问题中的追击问题和相遇问题，就是两个基础性的行程问题模型。且它们还综合出了类似通讯员从行进队伍的头走向队伍尾，再返回队伍头的综合性问题。因此，我们也可创造性地将此问题称为“相遇 追击”模型，以帮助学生理解问题的本质和展开有联想、有借鉴，有序，有效的逻辑思维。 构建模型解决问题，是教与学的一项重要而又有难度的任务。在教学中，我们指导学生建构了中点最为喜爱的“平8”模型；为方便导角、导线，构建了“一线三角”等诸多的几何模型。所以，善于在解题教学中指导学生，提炼模型，发展模型；善于创造性地针对常见的综合问题，活化一些问题模型，才利于学生在感悟其中蕴含的数学思想方法中，将复杂的问题分解化、简单化。指导学生用课本中的基础图形，组合出有整体思维风格的综合性模型知识，从而以模型为工具使知识的应用结构化，他们的直觉思维能力和联想思维能力才会更深邃，才会博大精深。

请看了后面所讲的那些模型思维的讲解后，又来体悟这段活。

3、丰富教学语言的能力。 教师既要重视培养学生正确的书面表达语言能力。也要重视自己有教学艺术的讲述语言能力。所以，要敢于创造不是天书的教与学用语。要相信自己那些经过仔细琢磨，且具有简明性，一致性，趣味性等有数学味的非书本言词，对讲述那些可以意会，难以言传的数学思想方法，会变得更有利于言传，甚至能让难以言传变成为极易言讲。 例如，作为已经知道全等三角形知识的发生和发展有三个历程的教师，在讲全等三角形系统的知识时，从初级的只是讲“证明全等”，到很快走向中级的讲“找全等证明”，再飞跃到断断续续地讲高级的添加辅助线“构造全等证明”的三个教学历程中，在讲必须“确定三个相等”的元素，才能“证明全等”的初始模仿教学阶段时，就要审时度势地意识到后续“找全等证明”时，是应该先找出要思考哪两个三角形的。当飞跃到需要添线构造全等三角形的领悟教与学阶段时，更是应该讲清楚锁定一些边角条件，然后再锁定某一个认为有特质的三角形作为模特，进而用一种比照式的思维去添加辅助线。那么，为讲述这一连串有很强共同思维方式的思想方法时，我们就应该用一种针对性很强的，且简明、易理解的，有思维深意的教与学言语，去进行尊重教学艺术性和符合教学一致性原则的语言创造。因此，我将那些需要“确定”，需要“寻找”，必须“先找出”，“以一个三角形为标准”的多个讲述语言，创造性地用 “锁定”去表述。因为我认为，只要解释一次，“锁定”就是“确定”，“寻找”， “先找出”，“以它为标准”的通用代名词，每个学生都会理解。并且从全等三角形知识的浅水区，迈向添辅助线的深水区时，都一以贯之地用“锁定”一词去讲述那些有深意，需明确的思维意境。一个“锁定”就将那些显性的浅层知识和隐性的深层知识都一网打尽了，何乐而不为。这样的教与学用语创造，即来源于对知识的发生和发展的良好认识和把控，也来源于努力使难以言传的数学思想方法易于演讲的初心。 再如，为讲述那些线段和角的计算，以及有时需要推理出某些线段与线段之间，角与角之间，或者线段与角之间的一些联系和关系的演绎时，我认为，从开始涉及这样的计算、推理和演绎时，就用一个“推导”的语句去讲解，既方便又能够准确地表达其在思考什么？再做什么？所以，我就创造了“导角，导线或导边”的教与学用语。请注意，在我后面的交流中，就要频繁地用“导”语。而且还会出现为了便于讲述一些图形情景的“角外角”，“形外角”，“虚交角”等言语。

当然，只要是有利于自己和自己的学生便于交流沟通的一切已经有的，或者是自己创造的好教学语言，在没有找到更好的教学语言之前，都是属于有教学艺术的语言。但为了既能更“好讲”又讲得更好，且又能够培养和激发学生的创造性思维，要在继承和发扬的基础上，有一点创新的意识和创造性的行为。

例如，后面我用明确的中点和直角顶点这个暗藏的中点，构成“中点垂足”模型的创新教学言句。

再如，当我把“中线加倍”，“截长补短”这两个早已耳熟共能详，且有极大认同度的言语基本上少讲，甚至抛弃后，用另有深意和思意的含多种中点线段问题情景的语句，去补充或者视为是代替后，那些用之于实践的老师们都是尝到甜头了的。由于说起来就必须结合实际试题去讲述，这里就不便多言了。

4、“四 五”的识图能力 几何与图形是密不可分的。几何综合问题的图形中，包含着许多隐藏的已知条件和大量的推理素材及信息，对图形的认识是否深刻，直接影响到问题能否顺畅解决。因此培养学生从点，线，角，形（型）四大方面去识图的能力缺一不可。且绝对不能忽视从位置，数量，形态和可能怎么变，可以怎么算的五大能力培养。否则，逻辑思维的展开就会是无源之水和无本之木。

　　我认为，上述内容应该属于人们所讲的数学思想方法范畴。作为数学教师，如果认为去修炼自己在类似方面似乎有些空洞的，虚飘飘的东西是没有价值的。那可能你良好的应对考试的初心和自认为是实际实在的教与学行为，可能就会是低效的，可能你就会难以“遇到”一群可以欣赏到数学“优雅”的成绩优秀的学生。

言了这么多的文字，但我感觉仍难以很好的言传出那些我心中的隐性深层知识深意。但回头一想，若我都能讲得明明白白的，那就不配称为隐性知识了，那就早以广为流传了。 接下来，让我们通过解题实践活动，去体悟以上思想方法。去获得切入辅助线添加的又一些思维密码。同时，在为什么是这样去思考？是不是就是因为多了一些类似如上铺垫的思想方法的反思中，去领悟，去获得那些过去可能还没有意识到，或者注意不够的有效解析思想方法。

二、[中点垂足]模型的创造和应用。

我们先通过一道有多法解析的试题，去实践“四 五”的审题识图。

　我们知道，审题很重要。这个重要不仅是指要把眼见的条件和结论信息，清楚地读入心里，更重要的是，要审出心里的这些条件能干什么？想干什么？结论可能从哪里来？等隐含在题中的可以或者可能性的信息。

探究三条线段的开放性数量关系，要去审视是最常见的“和差型”数量关系？还是“平方型”数量关系?若利用积累的解题活动经验，能审出一种直觉或者联想产生的肯定或者感觉，则就结合“眼中之审”和“心中之审”去展开思维。如果心中没有对结论审出某种感觉，那就随着解析的进程，后续再择机对结论再审。 审题能力未能得到良好发展，就常常审不出试题的“题根”、“题眼”。从某种意义上讲，审题就是审心里的解题活动经验是否丰富，是否灵动。如果审不出积累的解题活动经验，就会感到试题很难很难。

在打牢基础知识阶段时，若用直角顶点是

“隐中点”的深层知识，前瞻性地建构了与之关联的一些问题情景和思维意境的模型精彩，当在考场上遇到这道难题时，就能瞬间破解这个所谓的难题。因为一见到此题的FD⊥AD和E为BF的中点这个“题根”条件后，秒杀式地就审视出此题是由“题根“生发的新试题。

让我们把[中点垂足连线]这一类问题的“题根”，有创造性地播种。

于是，一个具有整体思维风格的模型高级知识，就诞生了。于是，一个先行组织者根据“三点一线”的思维策略 ，谋划的应用性“中点垂足”模型知识创造出来了。

让我们用这个积累的活动经验，去审视想难人的难题。

几点反思建议和体悟： 1、此题的解法虽然颇多。但从“中点垂足线段DE”的条件情景出发，产生构造“中位线三角形”和“倍变”直角三角形的解析意境，不失为具有很强思维通用性的佳法。因此，应该将【中点垂足模型】存入“解题思维银行”. 2、关于数学的思维性知识，基本上都是隐性的。所以，在那些清清楚楚的解析答案中，关于思维的深层知识也是看不见的。所以，通过不浮躁的认真反思，才能从解答中，找到思维的密码。我还认为，善于帮助，指导学生，创造性地建构将知识结构化的，具有整体思维风格的模型思维，是提升学生数学素养的最佳场地。 3、应用性思维知识的获得：一是靠虚心学习他人的经验。这应该是一种捷径。但不求更大进步的中青年人，自以为经验已经很多的中年人，不想作为的中老年人，产生职业厌倦的中老年人，从别人那儿吸取知识营养的机缘会减少很多很多。愿意学习，善于学习的老中青，才会不断增多和改良自已的应用性思维知识系统。

二是通过自己不断努力的解题后反思，在渐悟或者顿悟中去获得。这需要长期坚持。所以，我的内心一直按从“情景正-意境通—解法明”的反思方向，去谨慎大胆地建构属于自己的问题情景和思维意境的应用性知识系统。而且我感觉到，当反思的能力积累到一定的度时，突然思维的“灵感”就增多了。当我用自己内心生长的，有一定特色的“情景正则意境通，意境通则解法明，解法明的解题体悟，去与一些老师们和谐交流后。我更喜欢用一种批判自己，批判过去的谨慎和大胆，去将自已建构的应用性知识系统，不断进行有改良和有新创造的优化了。于是，更优雅地随情任性提取规则性知识，知其答题本真的思维顺畅，就让我的解题方法和快乐又增加了。

4、导线时引入主元的意识要强烈，先列出含引入元的方程，再去消元的计算思绪要清晰。

5丶思考练习题1：对于三条线段BC，AF与BC之间数量关系的开放性探究，你能再审出一个关系式吗？请审一审自已的发散思维、联想思维能力，用不机械的计算和灵敏的消元方法去再捕获一个三线的数量关系吧！

三、角信息，你想干什么？我应怎么干？

不仿将课本中的概念，公式，定理，法则等知识统称为规则性知识。将运用规则知识去解题的思想方法统称为应用性知识。当前者显，后者隐的两大知识系统平衡构建后，与试题的对话才会有问会答、巧答，才能面对不同的设问，都能惠答、抢答。

当一个人建构起以“点，线，角，形”为中心的优良应用性知识系统时，课本上那些关于“点，线，角，形”的规则性知识，才能更好地在关于“惠变”和“惠算”的应用性知识的管控和调配下，得到自然，及时的运用顺畅。

为使角这个基础元素的规则性知识，能移与利用或构造基本图形的思维相互惠顾，应注意从试题中若出现角的信息，角想干什么？角能干什么？要注意什么？我应怎么干？的思维视野，去构建角的应用知识系统。

我以两大“情景正”为解析出发点，去产生“意境通”的解析落脚点，其解析立意和策略是：

1、知角求角的情景→角为角而生，用形去导角的意境。即根据角的条件，利用形的知识，去推导出，计算出其它的角。简述为：角→形→角的解题立意通道。（不在此文挡中多讲） 2、知角不求角的情景→角奔线而去的问题探究。即虽有关于角的条件，但试题却是关于线段的探究设置。这时，解析的注意力应放在由角去寻找形，由角去创造形上，从而能够利用形的精彩去演绎线段关系的精彩。简述为：角→形→线的解析立意通道。（本文档之侧重）

3、由角思形的谋划策略。（重要！重要！）

这种从角出发，通过寻找形或构造形，从而利用形的规则性知识去导角或导线，我相信在解题时，人人都是这样去做的，但由于思维意境的清晰度和认识的深浅度是有极大差异的，所以，当遇到综合性较强的试题时，若思维的谋划立意和意境不清晰，则在解题时就会出现思路的困惑，甚至难为。

当有了清哳的角信息是奔着角去，还是奔着线去的思维大方向策略立意后，怎样利用试题背景图形中，自然存在的那些或明显或多个的基本图形去导角或导线，以及怎样利用多种条件的平衡，去添加为了改造形、创造形的辅助线，从而获得基本图形这个演绎线、角推导的工具，使侧重于导线的试题，有更明晰的解析通畅。所以，特别是在从角信息→走向寻找形或创造形→完成要导线的多种难题的解析活动中，强化着眼于已知角的信息，你想干什么？它能干什么？的观察与思考，去谋划形的寻找，形的利用和添线的形创造，就能在平衡点，线，形信息的观察与思考中，孕育出演绎某些线段的位变、量变和关系探究的可随情随意选择的优雅解题通道。

让我们再次抛弃“截长补短”的旧爱，用“知角不求角，角为形而生”的思想方法新爱，去惠答在第六季就解过的一道试题。

试题再现：

已知ΔABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，探究线段:BD、AD、BC之间的数量关系。

　　此题是明显的[有角（∠A=100°）不求角（求证：BD AD=BC]的问题情景。因此，可从

“角为形而生”的立意去思考，如何利用角的条件去导出更多的角信息，以便为构造能够移动等线的全等三角形或等腰三角形，提供思路的源头和成立的保障。

根据已知图形和条件，由尽可能扩展角信息的良好认识，不难得到图解中的多个角。

观察与思考：

由角平分线暗示的可以施展轴对称变换，想到作点A关于BD的对称点，构造出ΔABD≌ΔEBD（SAS），于是，自然地发生了 AD=ED的线段“位变”，和∠BED=∠A=100°的角“变位”。（注：“位变”指数量不变，仅位置变化） 这时，意识到（就怕没有意识到）∠DEC=80°， 于是，进一步意识到（更是怕没有这些意识），既然角为图形而生，那么从命题者给我们这些能够得到的角数量中，就一定有某些角量是奔着“形”而去的。而恰好20°，80°这两个角的数量，能够成为一个等腰三角形的顶角和底角数量。加之∠DBC=20°的这个角的两边BD，BC，恰好属于探究问题中涉及到的线段。则良好的应用性知识立即“惠顾”：请以BD或者BC为腰去构造依赖着以∠DBC为顶角的等腰三角形。 于是，在“惠顾”的思维意境下，就有了两种可供选择的，并不神秘的自然添线思路。

　　在第六季，已讲述以BD为腰的解法。现仅讲述以BC为腰去构造一个等腰ΔBCG的解法。

延长BD至G，使BG=BC，连接CG。 立即就得到∠BCG=∠BCG=∠DEC=80°， ∴∠ECD=∠GCD=40°，又CD公共， ∴ΔCED≌ΔCGD， 则再次产生了线段ED=GD的“位变”。 于是，在全等三角形和等腰三角形的成功构造下，三条探究线段实现了有利于发现数量关系的变换， ∴BD AD=BD ED=BD GD=BG=BC. 则利用“知角不求角，角为形而生，形为导线造”的思想方法，又把BD十AD=BC抢到手了。

　为深刻领悟从许多“知角不求角”的试题中发现、提取的“有角不求角，角为形而生”的认知策略。请做一做思考题2：抛弃“截长补短”的旧爱，仍用同样的思想方法，先去构造出以∠CBG=40°的等腰ΔBCG，使得发生BC=BG的“位变”。然后，再继续添线造形，去创造其它线段的“位变”之解析通道，去获得三线的数量关系：BD AD=BC。

对于此题而言，虽然这样构造顶角为40°的等腰三角形，不是解析捷径。但不是为了获得答案的认知策略实践，是及有价值的。因为同样是用从角、线出发去构造等腰三角形和全等三角形的解析训练，能通过“由角思形”策略的实践活动，加深对“添线造形有策略，千万莫要小视角”的领悟和掌控。先做一做吧，后继我再给出这个思考题2的图解示意图。

为了建构以“由角造形，以形导线”谋略为支撑的算线，导线应用性知识系统。让我们把每个教师都知道的，但却不是都清晰的一些思想方法，进行梳理和提炼。 1、利用角的数量暗示去造形。

当“有角不求角”的试题情景出现时，要有既然不求角，为何告诉角？的思考。当有了“角为形而生，造形为导线”的战略性思考后。要有两大方向性的观察与思考。

方向性思考一：由角的数量，去考量构造什么形态的图形？

能够获得的那些角的信息，是想助全等三角形一把？还是希望成为等腰三角形或者直角三角形的元素？

例如，当出现60°的角时，应考量，这是在暗示构造等边三角形？以便能传导三条等边。还是要构造直角三角形，使得能导得三边有1：√3：2的数量关系。

在有45°的角时，可考量是构造等腰直角三角形，从而去导出√2的非显性线段？还是要与出现的67.5°角合作，用45° 2×67.5°=180°的考量去分析，这是否是构造顶角为45°的等腰三角形的“题眼”。 所以，对那些决不是无缘无故出现的角数量。要在平衡其它信息的考量中，去把控好图形的构造。例如上题的等腰三角形构造，就是整体把控20°，80°的角和探究线段BD，BC的信息，用丰厚的应用性知识，去产生的直觉思维意境。 因此，对两角具有一个等腰三角形顶角，底角的数量关系信息出现时，应联想到有隐身的等腰三角形。这就是我为啥要反复强调注意“算”和“变”的缘由之一。这就是在尊重几何是研究形状，大小（数量），位置关系的明示。

方向性思考二：考量三角形的可导线性。

我们知道，全等三角形，相似三角形和等腰三角形，直角三角都是传导线，传导角的强有力利器。在本文档，只着重梳理用一个三角形去算线，去导线的应用性知识。

当出现某些特殊的角时，可构造特殊的三角形，则导线的通道就有了。例如，利用60°或45°的信息去构造直角三角形，则由任意一条边，都能导出另两边。这虽是显然的，但如果没有讲出显性性，当遇到一些综合性的试题时，就不能用得很显然。

　　有时，为叙述方便，我也把“算线”和“导线”都统称为“导线”。我认为，这样的“算边”，“导边”认知，就是常说的“要理解数学”。

类似地，在一个斜三角形中，只要知道两个角（顶）点的角数量，就能定性地知道，这个三角形是“可导边”的三角形。只不过在初中，需要把一个斜三角形转换为两个直角三角形，或者利用面积关系去“导线”。

孙子日“计利以听，乃为之势”。必须让学生明晰：“知两角的三角形三边可导”；“一斜化两直”去导边”的“利与势”，他们才能在复杂多变的算线，导线问题上，呈现出“夫未战而庙算胜者，得算多也”的兵法之道。

教数学，必须理解数学，才能“将听吾计，用之必胜。”为了理解、建构“可导边”三角形的知识系统，为了不让显然的“导线”知识睡着了，我仅以如下的这一道试题，去释义有角不求角的先定性，再定量的算线，导线应用性知识。

定性分析：

显然图中有三个斜三角形，且它们的内角都能导出。所以，它们都是可导边的斜三角形。

又探究线段AD，BD是可导斜ΔABD的边，则能够导得该两条线段的数量关系。

又探究线段BD，BC是可导斜ΔBDC的两边，则也能导出这两条边的数量关系。

因此解法就明确了。那就是选择某一条线段为主元后，利用两个可导边的斜三角形，用解斜三角形的“一斜化两直”思想方法去导线段。

在导线之前，先定性考量三角形的可导性，才会产生不盲目的定量导线演绎。如果把定性分析可导性的知识流失了，则“帮助学生理解数学”就有些空洞，无力。有定性的可导性分析，导线的演绎才会自信，明确。

虽然数学教师都知道在解斜三角形时，有

“角多思正弦，边多思余弦”的高中知识。但在初中，应该本本分分的让学生理解： （一）解斜三角形的策略是“三段式”思考：

定性分析斜三角形的可导线性→分割为两个直角三角形→导线的定量演绎。

（二）解斜三角形的基本思想方法是： 1、 斜三角形化为两个直角三角形。简称“斜化直”。 2、 等面积法。则需作两条高。 （三）操作演绎时： 1、尽可能不分割特殊角。 2、设一条线段为主元，从主元线段出发去导其它的线段。 3、注意用好两个分割直角三角形的公共边和共线边。

斜化直：　在斜ΔABD中，45°和60°的角应保留，则过点A作AE⊥BD于E，使其变化为两个“背靠式”的可导RtΔABE、RtΔACE.

引入辅助元：设小边DE=a，

则容易导得AD=2a，

BE=AE=√3a，∴BD=（√3 1）a.

对钝角ΔBCD的斜化直分析：

40°的充许角要保留。∠BCD=120°的邻补角为60°.则有：

想法一：过点C作高线，过点D作高线。以CD为主元导出两高线，再利用等面积法，可导出两不同底BC与BD的数量关系。

想法二：若过B作BF⊥CD于F ，则变化为RtΔBCF“怀抱”RtΔBDF的“怀抱式”形态，更利于导线。则用此法导线。

进行类似的定性分析，即可确定算，导的道路是否无有障碍，也能考量出是否简单，从而在有确定出路的选择中，择其优的解析方法。

因为公共边BD已经与元a建立联系，则视BD为元去导BC边。

在ΔBFD中，BF=½√3BD， 在RtΔBFC中，BC=BF·sin40°， 则导线结果是：BC=½√3（√3 1）asin40° =½（3 √3）asin40°， AD=2a，BD=（1 √3）a.

于是，以a为元的三个方程列出来了。 再用消元的思想去发现关系：

优先考虑三线的“和差型”关系。 敏锐地发现AD BD=（3 √3）a， 所以，BC=½（AD BD）sin40°. 反思：结果虽不唯一，但此结论是最易得的。

引入元a的导线思想方法要重视。如果试题的问题没置为：探究BD-AD与BC的数量关系。则需在导得BD，AD，BC与a的关系后，利用引入的元a这个过渡量，去组织不慌不乱的计算。

因为能够算出BD-AD=（√3-1）a ，于是就有：

（BD-AD）：BC=（√3-1）：½（（3 √3）sin40°

=2（√3-1）：√3（√3 1）sin40°

=（4-2√3）：√3sin40°，

所以，√3sin40°（BD-AD）=（4-2√3）BC.也是本题的一个开放性探究结论。

请用相似的计算思想方法，去解决前面的思考问题1。

综合性试题的解析，依赖着多个基础知识

和多种基本性的数学思想方法。因此，在解题教学中，不失时机地渗透，点明，强调所涉及到的那些思想方法，它们才会被点醒，才会逐渐沁入学生的心田。

几何，因图形的变化多端而考量着应用性知识系统的精彩。对于平移、旋转、轴对称的三大变换思想方法，不断将其渗透在解题的教与学之中，才能将那些并不是依赖孤立信息的问题情景，和并不是依靠一种认知策略的思维意境，进行有梳理、有提炼的有序归纳和有创造的总结。这样，那些变换的基本技能技巧，才会慢慢被我们所熟识。所以，仅仅依靠课本讲述的变换知识，是难以在解题时借由其他条件的贯穿连接，驾轻就熟地进行三大变换的。只有在解题活动中注意构建高于课本知识的应用性知识系统，才会有居高思志远的认知策略；才会有适宜、灵活的变换思维意境；才会有不是藉大运的辅助线添加；才会不是仅掌握规则性知识的数学哑巴。

反思： 进行一些不刷完整试题的学习训练，能够借由相似局部条件情景的贯穿连接学习，使学生获得更易领悟的认知策略。这种能够产生记住相似解题思想方法的学习方式，能够更好地提升挖掘图形中隐藏条件属性的能力，能够提升添加辅助线的能力。

例如，提出不是刷题的问题：若两条关联线段AC与BD的“虚交角”是90°，则能够构造出什么基本图形？

让我们再次回到那个已经有了19种添加辅助线意境的几何题中，用“有角不求角，角为形而生”的优雅认知和“虚交角”的添线秘笈，去再获得多个添线的思维意境。

试题再现： 如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD．求证：BD=CD.

观察与思考：

思维大意境：1、虽有角数量，却并不求角。则角是为构造某种图形而生的。

2、三条题眼线段AB=AC=BC构成的两线夹角中，“实交角”∠BAC=90°，∠ABD=30°，则可利用“实交角”去构形导线。此思维意境我下季再兑现。

当发现BD与AC的“虚交角”（如图所示）为60°后，产生利用这两条等线和60°的条件，去构造等边三角形和平行四边形的思维远景。

　　有了明晰的、自信的添线思维意境，则尝试将两线中的一条线段，沿已有的连接线段AC或CD或AD的路经平移。就可以产生线段的“位变”和新的线，新的角的关系。于是，我坚信情景正，则意境通，意境通则解法明的解析出路是四通八达的。

在RtΔFCE中，CF=½CE. 又CE=BD=BC，

∴CF=½BC. ∴DF垂直平分BC.

∴DC=DB.

　　虽此解析图与前几季讲述的一个解析图是相同的。但这是用[两条等线夹“虚交角”]的认知策略获得的。

　于是，从两线段的“虚交角”情景出发，又生成了第19→第25个添线的优雅意境。写到此处，我感叹，几何的辅助线太美了！我感觉，拥有优雅的添线认知策略，神奇的辅助线就不再神秘了。我坚信，类似于“有角不求角，角为形而生”的应用性知识，值得拥有！我坚信，紧紧围绕着点，线，角，形的位置，数量，形态以及如何变和怎么算，去构建优雅的深层知识系统，去窥探各类试题的解析秘密，是提升几何素养的及好方法。

为便于讲述 ，我把由两条“虚交线段”，通过平移变换所构成的三角形称为：两线夹虚角的三角形。或简称为“虚交角三角形”。把这一类试题，称为“虚交角模型”问题。

认真理解敏锐发现“两线 两线虚交角”的问题情景提炼，深刻领悟通过平移变换，生长出[平行四边形 两线夹虚角三角形]的思维意境， 当遇到网上热议的一片我视为“虚交角模型”的难题时，瞬间就有添加辅助线思路的人，就会是你。

范例：如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC。E是BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗?若是，请求出它的度数;若不是，请说明理由.

　从证全等三角形的初级阶段，就获得的审题经验告诉数学心，对于类似AD=BC，CE=BD的两组等线，应该重新“搭配”。

BC与BD这两条交角为90°的线段，能搭配出 一个直角三角形。对应的另两条线段AD与CE虽是“虚交”，但“虚交角就是那个90°的直角。于是，直觉感立即说：这是典型的“虚交角模型”问题。于是，将任意一条虚交线段沿AE或CD平移的四种意境，瞬间涌现。

应该怎样连线？

能够生长出什么基础图形？

你能够用“退到点”的思绪去连线吗？ 你有一种有远见的思维意境吗？

你有一种先有形的感觉，再去添线的愉悦感吗？

反思：1、此典型的“虚交角模型”，有何思维密码应提取？有何添线思路应存入“解题思维银行。

2、为什么“虚交线”AD或CE不能沿AC路径平移？

3、请从已知条件具有“四条线段两组等线”

“90°的实虚夹角”情景出发，去构造两个等腰直角三角形。

提示：仍用平移某一条线段的思维意境去解析。但要注意平移的路径。且要利用应该掌控的另一种具有模型思维的思想方法。

4、实战练习：（不是为了得到答案）

请先辨识以下第1一3题的情景为何？再用一种模型的整体思维意境，诱发（4 1）种添线手法进行解析。

若不能让4种不同的辅助线从天而降，请回头再思考反思问题1和问题2。

若要想有第5种添线手法，请先完成反思3的任务。

1、 在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．若BD=AC，AE=CD.

（1）按题意画出符合题意的图形。 （2）求∠APE的度数。

2、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，求∠ADC ∠BEC的度数．

3（2015年菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由。

第4-5题的条件中，有“知角不求角”的情景吗？在导线时，角度信息应该怎么想？应该怎么干？ 4、（2018年无锡18题）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a 2b的取值范围是______________

提示：1、注意平衡60°的角信息和非显性线段2b信息。即注意有（60°，2b）的问题情景。

2、注意运用求最值线段的[折化直]深层知识。

当然，还要注意线段的传导。

5、（2018年遵义18题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为______。

提示：有角（120°）不求角，角想干什么？

应该怎么想？可以怎么干？

让两种常用的思维意境给自已提供解法吧。

　最后谈几句想安静 ，但又有一些不安静的言语。 因为痴情数学，所以，就想把我对初中 数学的一些所思所悟，逐步进行一些整理。一是想静静地享受自已所感悟到的数学之美，二是想把一些也许可借鉴的思维策略和方法，分享给他人。有兴趣者，可关注我谈数学问题的公众号和有时栖居在《美篇》里的数学文档。如果你想安慰那颗初心是想分享数学之美，是想给人一些启发的数学心，可有时在美篇的评论栏或者以其它方式点一个赞，以便我判断是否还需费心费劲地撰写那些关于教学的感悟和建议；以便我判断那些数学文档，是继续分享，还是只安静地与那些朋友般的老师们交流。

以上练习题的解析，下季再简述 微风.2018.8.6