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一道2019年江苏南京中考试题引起了许多人的关注，下面我们就先来看一下这道题吧。  这道题如果按照正常的思路求解比较困难，经过我的思考，觉得下面的方法算是比较好的。  BC的最小值比较容易理解，根据三角形内大角对大边，小角对小边就可以得出BC>4，可以无限趋近，但无法等于。关键的问题是如何去求BC的最大值，如何在图中表示出BC长度的变化。我的思路是这样的： 1、先作一个60˚的角，角的顶点为C，在角的一条边上找一个点A，以A为圆心，4为半径画圈，交角的另一条边上为B，这样我们就找到了BC。这点随着A点在一条边上移动，B点就在另一条边上不断移动，BC就不断地发生变化。 2、过B点作BD垂直于AC，利用三角函数：BD/BC=sin60˚， 要使BC最大，就是使BD最大，把问题转移到求BD的最大值上。 3、在直角三角形ABD中，AB是大BD的。我们可以移动B点，A点和D点会同时发生变化，只有当A点和D点重合时，BD=AB，此时BD最大。 4、我们再根据三角函数，把BC求出来。 这个方法即使是有道理，正确的，但讲解很绕，说不清楚，理解起来困难，但下面的这个方法，就简单直接多了。它运用了定边定角对定圆的知识点。我们来看一下吧。  1、我们可以做一个圆O，经过AB，而且AB所对的圆周角是60˚，这C点就在圆O上运动。 2、从图中我们可以很直观地看出，当BC是直径时最大。 3、用三角函数求出BC。 虽然下面这种方法，理解起来非常容易，但它存在一个问题，定边定角对定圆，这一个知识在数学教材中是找不到，许多同学并不知道，如果是一道需要写过程的题，这样的知识点是不能直接应用的。但中考中出现了，而且以填空题的形式出现，具体什么样的过程并不重要了。这样的题既然已经出现了，就说明，初中生对这方面的知识还是掌握一下较好。 像这种，图形中并没有圆，但解决它用到的却是圆的知识的问题，数学上把它叫做隐圆问题。要解决隐圆问题，首先要了解四点共圆的证明方法，就是首先要证明动点在圆上运动。 下面我们就来看一下四点共圆的判定方法。 四点共圆的判定方法是：对角互补的四边形的四个顶点共圆。运用的方法是反证法。  1、三点确定一个圆，A，B，C在同一个圆O上。假定D点不在圆O上。 2、连接BD，交圆O于D'，可得∠B+∠D’=180˚，而∠B+∠D=180˚。 所以∠D=∠D’，而∠D不等于∠D’，所以D和D'重合。 3、所以A，B，C，D四点共圆。 4、可以按此方法证明A，B，C点在圆上。 由四点共圆的判定方法可以推导出一个重要的推论，两线段相交，一条线段两部分的乘积等于另一条线段两部分的乘积，那么两条线段四个端点共圆。如图中，若AE乘以CE=BE乘以DE，那么A，B，C，D共圆。只需两次三角形相似就可以推导出四边形的对角互补。 由推论，再进一步，我们可以得知，定边所对的相等的角的顶点和定边的两个端点在同一个圆上。下面我们来看一下。  如图所示，∠ADB=∠ACB，求证A，B，C，D在同一个圆上。 1、A，B，C在圆O上。去证明D点在圆O上。 2、∠ADB=∠ACB，∠AED=∠CEB，可证得三角形相似。 3、三角形相似可证得E乘以CE=BE乘以DE。 4、所以四点共圆。 了解到这一步，我们才算真正了解了定边定角对定圆是怎么回事。我们再来看一下刚开始的题目，如果这是一道大题，因为教材中并没有讲解这些知识点，所以并不能直接应用，就需要从已有的知识一步步推算。  作为大题，这道题中求BC的最大值的解题过程就是： 1、先证三角形相似。 2、得出相交线段的两部分乘积相等。 3、再由乘积相等，再证三角相似，得对应角相等。 4、由对应角相等，证出四边形对角互补。 5、由对角互补，证出共圆。 6、最后找出最大值。 如果要这样写的话，这个过程就更加的复杂，估计得写两页纸了。但中考应该不会这样出题，否则它就超纲了。 好了，关于隐圆的问题就介绍到这里，我想大家应该明白了许多，需不需要学习一下，大家心里有数。喜欢我的朋友请关注我，有我精心准备的学习资料免费赠送，大家数学学习上有问题，我很乐意提供帮助。 |
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