高考数学：次压轴题新题型——概率之正态分布型！2019重点题型！

正态分布的应用,如随机变量在某一区间取值的概率,一般以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解和相关公式的应用.

1.正态曲线及其特点

我们把函数

x∈(-∞,+∞)(其中μ是样本均值,σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

正态曲线的性质:

(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

(3)曲线在x=μ处达到峰值(最大值);

(4)曲线与x轴之间的面积为1;

(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图(1)所示;

(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图(2)所示.

2.正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如图14-4-2,如果对于任何实数a,b(a<><>

(2)正态分布的三个常用数据

①P(μ-σ

②P(μ-2σ

③P(μ-3σ

(3)3σ原则

由P(μ-3σ

在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.

3.正态分布解题方法

服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法:

(1)利用P(μ-σ<><><>

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.

例1：若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<><1.96)=（>

A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975

思路分析：由题意可知μ=0→可知正态曲线关于y轴对称→可得P(|ξ|<>

解析：由随机变量ξ服从正态分布N(0,1),得P(ξ<><>

P(-1.96<><><><>

答案：C

归纳：对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知:(1)P(x≥μ)=P(x≤μ)=0.5;(2)对任意的a,有P(X<μ-a)=p(x>μ+a);(3)P(X<><><><>

例2：为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态曲线如图14-4-6所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是（ ）

A.997 B.954 C.819 D.683

思路分析：解决本题的关键是求P(58.5<>

解析：由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<>

答案：D

归纳：(1)在N(μ,σ2)中,第二个数是σ2,而不是σ;(2)若X~N(μ,σ2),则随机变量X在μ的附近取值的概率很大,在离μ很远处取值的概率很小。