微分形式的Stokes 定理

本来是要继续讲Maxwell 方程的，发现要用到很多向量函数的公式，主要是 Green 公式、Stokes 定理和 Divergence（高斯）定理。三言两语讲不清，干脆单独写1-2篇。希望能对更多的学生理解这些看起来很复杂的公式有所帮助。

再次强调，数学不是小说，光看是不行的。看完了一定要自己推导一遍，不看书，不上网，自己按照文章所说的方法演算一下。

对严格性要求高的读者可以直接阅读相关数学教材。下面要讲的微分形式的 Stokes 定理在任何一本代数拓扑的书里都可以找到。稍微深一点的数学分析书也可能有。

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先上图，微积分的基本公式，一般院系最后一节的高数，各种微分算子，各式各样的积分（线积分、面积分、二重积分、三重积分等等）纠缠在一起，代表了非数学系学生所学数学的巅峰之作。

这里用到的 curl 和 div 两个微分算子是这样定义的。假设 F = ( P, Q, R ) 是一个向量场，那么：

需要记住吗？需要。怎么记住？背公式吗？不需要。

数学是一门讲逻辑推理的学科，也是一门不断抽象简化的学科。上面这些公式可以浓缩为一个，微分形式的 Stokes 定理：

 称之为微分形式， 是定向的几何区域。d 是微分算子， 是边界算子。尖括号代表某种形式的积分（作用）。

首先这个抽象的Stokes定理更加对称，也更为简洁地揭示了图一里各种公式的共性：一个微分过后的形式在一个区域上的作用等于原来的形式在这个区域边界上的作用。

 数商测试：你觉得上面的公式漂亮吗？美不美？

接着我们来看几何区域和边界算子。

几何区域和边界算子

 在微积分里是用来代表偏导数的。为什么一个几何区域的边界也用这个符号表示呢？

微分形式的Stokes定理就告诉你实际上几何区域的边界算子可以看成是微分算子的对偶算子，它就是几何区域的某种意义上的求导。

 的几何意义很好理解，就是区域 的边界。比如线段的边界就是两个端点，平面区域的边界就是条曲线，三维体的边界就是一个曲面。 

但要小心的是定向。定理涉及到的几何物体是有方向性的。

• 曲线的定向是很好理解的，北京到上海和上海到北京就是正好相反的定向。

• 曲面的定向稍微复杂一点。我们采用法线方向来定向。通俗地讲一般的曲面都有两面（正反或者里外），选定一个作为正方向，这就是曲面的定向。

• 体的定向就有点抽象，因为“看不到”。简单地讲，每个体也有两个方向：左手坐标系或者右手坐标系。一般我们选右手系作为正向。
  

点的定向也没有直观的几何解释。代数上来说可以用正负号 +，- 来表示。

 和  都有定向，在Stokes公式里，它们的定向必须协调一致。或者说  的定向是由 的定向诱导的。抽象的定义太难理解。只要记住具体的例子就可以了。

• 3维封闭体，右手系定向，其表面的定向是外法线方向。

  
  

• 2维的曲面，法线方向和边界曲线的方向遵守右手法则。对平面而言，法线方向是朝上，边界曲线的方向就是逆时针方向。如果平面区域还包括洞，洞的边界是顺时针（为什么？）

• 1维的曲线，给了方向后，两个端点的方向（就是 +，- 号了）取决于曲线的方向是进还是出。如果是北京到上海的高铁线，那么上海这个点就是 + 号，北京就是 - 号。

微分形式和外微分

比较难讲清楚的是微分形式  和其外微分 。我们不追求严格性和一般性，只是给出一些易于操作的法则。

微分形式  就是 dx, dy, dz 及其外积的线性组合。

• 1-form：dx, dy, dz。在3维空间中，1形式长这样 P dx + Q dy + R dz. 其中系数 (P,Q,R) 形成了一个向量场。

• 2-form：dxdy, dydz, dzdx. 在3维空间中，2形式长这样 P dxdy + Q dydz + R dzdx. 同样的 (P,Q,R) 形成了一个向量场。

• 3-form: 3维空间的3形式：f dxdydz. 其中 f 是一个空间上的函数。

这里微分形式的维数取决于有几个d。注意上面的公式是3维空间的。换成 2 维空间就有些不一样（建议读者自行写出 R^2 的几种微分形式）。

细心的读者可能会问：为什么没有 dydx 呢？ 其实也有的，只是微分形式遵守反对称准则 dydx  = - dxdy. 这样就可以只用 dxdy来表示了。 

为什么是反对称？微分形式也是有几何意义的。要讲清楚有点复杂。2-form 作用在切空间中的两个切向量时代表这两个向量张成的平行四边形的有向面积。为了简化解释，我们省略了外积符号, dxdy 更严格一点是 dx ^ dy。这个乘积和通常乘积最大的不同就是反对称性。

 数商测试：有0-form吗？3维空间里有4-形式吗？

 就是对某个微分形式求导，不同维度的微分形式，具体求导的形式不同。还有点绕的是，微分形式不光是 dx，前面还有系数（矢量场或是向量场），求导是对这些系数函数求全微分，然后再和相应的微分形式做外积。

复杂的变化不需要担忧，只要记住下面两条规则

1. 函数 f 的全微分

2. 微分形式间外积的反对称性  

dxdy  = - dydx

从反对称性 dxdx  = -dxdx 可以推出 dxdx = 0, 所以和系数函数的全微分做外积时只要有重复了的 d 项就是 0。

我们用以上两条规则来理解一下 Green 公式里的外微分：

首先这是2维空间，没有 dz，只有 dx, dy 和 dxdy. 考虑 P 的全微分

第一项因为有 dx，再和 Pdx 里的 dx 外积就是0，所以没有了。第二项的外积是 dydx ，交换顺序变成 dxdy，所以就多了一个符号。对 Q 求全微分，用同样的道理得到了右边的第一项。

很简单的操作，对不对。读者可以举一反三，把图一里左右两边积分里涉及到的微分形式用这两条法则推导出来。

这里可以再回顾一下 curl 和 div 两个微分算子。假设 F = ( P, Q, R ) 是一个向量场，那么：

Stokes定理和 Divergence 定理 看起来复杂，实际上都可以从抽象的Stokes定理出发，再用两条简单的外微分法则推出来。公式不用记，要用的时候推一下就是了。

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