极限理论的抽象过程——连续函数

为了讨论导数的存在从，人们曾反复用到连续函数的概念，但都限于对连续函数的直观描述，而无法给出一个确切的定义。现在，我们借助极限的语言来定义连续函数，首先用极限的语言来直观地描述函数的连续性，如果说一个函数f(x)在点x₀处是连续的，那么，对于任意收敛到x₀的数列{x_n}，令y_n=f(x_n)和y₀=f(x₀)，则当数列{x_n}收敛到x₀时，函数值的数列{y_n}也收敛到函数值y₀。我们把这个描述给出一般的符号表达，就可以得到下面的定义：

称一个函数f(x)在点x₀处是连续的，如果对于任意ε>0，都存在δ>0，使得所有满足

|x-x₀|<δ的x均有|f(x)-f(x₀)|<ε，表示为lim(x→x₀)。称一个函数在区间[a,b]上是连续的，如果这个函数在这个区间上的每一个点都是连续的。

可以看到，利用符号表达，我们能够严格地判断函数地连续性了。如果要考察二次函数f(x)=x²的连续性，根据上面的规则，先固定一个点比如x₀=2，这时f(x₀)=4。因为对于任意给定的ε>0，令δ为小于ε/5的正数，那么对于(1,3)附近的所有x，只要|x-2|<δ,则必有|f(x)-4|<ε，根据定义函数f(x)=x²在x₀=2处连续。因为这个方法可以适用于任何点，因此函数f(x)=x²在整个数轴上是连续的。

我们是通过数的变化来讨论函数的连续性的，这涉及了数本身的连续性，否则很难表述甚至很难想象一个变量是如何趋近一个给定的常数，很难表述也很难理解符号x→x₀的意义。所以，现在出现了一个更加本质的问题：数轴上到底有哪些数？这些数是否是连续不断的？如何来表示这些数？

这个问题我们将在以后的《实数理论的建立》来讨论。