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极限理论的抽象过程——连续函数

2019-01-11  京津冀书...

极限理论的抽象过程——连续函数

为了讨论导数的存在从,人们曾反复用到连续函数的概念,但都限于对连续函数的直观描述,而无法给出一个确切的定义。现在,我们借助极限的语言来定义连续函数,首先用极限的语言来直观地描述函数的连续性,如果说一个函数f(x)在点x0处是连续的,那么,对于任意收敛到x0的数列{xn},令yn=f(xn)和y0=f(x0),则当数列{xn}收敛到x0时,函数值的数列{yn}也收敛到函数值y0。我们把这个描述给出一般的符号表达,就可以得到下面的定义:

称一个函数f(x)在点x0处是连续的,如果对于任意ε>0,都存在δ>0,使得所有满足

|x-x0|<δ的x均有|f(x)-f(x0)|<ε,表示为lim(x→x0)。称一个函数在区间[a,b]上是连续的,如果这个函数在这个区间上的每一个点都是连续的。

可以看到,利用符号表达,我们能够严格地判断函数地连续性了。如果要考察二次函数f(x)=x2的连续性,根据上面的规则,先固定一个点比如x0=2,这时f(x0)=4。因为对于任意给定的ε>0,令δ为小于ε/5的正数,那么对于(1,3)附近的所有x,只要|x-2|<δ,则必有|f(x)-4|<ε,根据定义函数f(x)=x2在x0=2处连续。因为这个方法可以适用于任何点,因此函数f(x)=x2在整个数轴上是连续的。

我们是通过数的变化来讨论函数的连续性的,这涉及了数本身的连续性,否则很难表述甚至很难想象一个变量是如何趋近一个给定的常数,很难表述也很难理解符号x→x0的意义。所以,现在出现了一个更加本质的问题:数轴上到底有哪些数?这些数是否是连续不断的?如何来表示这些数?

这个问题我们将在以后的《实数理论的建立》来讨论。

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