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19世纪前期，柯西发展了极限的概念，并且取得了很大的成果。柯西关于极限、连续性和导数的定义在法国逐渐得到普遍采用，在其他地方也是如此。此外，他在证明中使用的定义，特别是使用各种形式下的中值定理，使得分析不再是对一些具有特殊性质的量（无穷小量）的符号操作，而成为利用不等式的运算作精密的估计这样一种研究无限过程的科学。 在某些方面，可以说柯西的最大贡献在于他的清晰的定义。对于早前的作者，无穷级数的和是一个多少有点模糊的概念，有时可以用一种收敛性的论据来解释，有时又作为此级数所来自的函数的值来对待（如欧拉就时常这样做）。柯西宣称无穷级数的和就是其部分和序列的极限。这是把微积分和分析的基础移到以实数概念为基础的重要一步。这个潮流最终占了统治地位，时常被称作是"分析的算术化"。类似于此，现在连续函数就是具有以下性质的函数："变量的无穷小增加导致函数本身的无穷小增加"。上面的例子说明，柯西并没有逃避无穷小，他也没有对无穷小作进一步的分析。他对极限的定义，现在看来是一种对话式、启发式的：
这些思想按现在的标准来看并不完全严格，但是柯西可以用它给分析里的种种基本过程以统一的基础。 对于无穷小量的应用，就出现在他对连续函数的定义里。设有一个函数f（x）定义在实数直线的某一个有限区间上，而且是单值的，然后在此区间里任取一值x_0。如果把这个值增加为 x_0＋a、则函数值也会改变一个量f（x_0＋a）-f（x_0）。如果对此区间里的任意x_0，f（x_0＋a）-f（x_0）与a同时无限地趋近于0。柯西就说这个函数在此区间上是连续的。换句话说，柯西定义的连续性是在一个区间上，而不是在一点处的性质，本质上就是说，在此区间上自变量的无穷小变化产生函数值的无穷小变化。柯西是把连续性考虑为函数在一个区间上的性质的。 这个定义强调了函数值的跳跃对于理解这个函数的重要性，这一点柯西在他早前研究微积分的基本定理时就遇到过。柯西在1814年关于定积分的论文中就说过：若函数Φ（z）在z=b'和z=b''以连续的方式增加或减少，则积分
通常可以表示为Φ（b''）-Φ（b'）。但是，若函数突然地从一个值跳到另一个明显不同的值，则积分的通常的值必须减少。 柯西在他的讲义里定义定积分时，假定了连续性。他首先考虑把积分区间分成有限多个子区间，而在每一个子区间上函数或上升或下降。然后，他就定义定积分为以下的和的极限：
当数n变得很大时的极限。柯西用关于中值的定理和连续性的事实，对于极限的存在给了详细的论证。 柯西的讲义的各个版本在1821年和1823年出版、由柯西使用的定义，后来在法国成了标准。许多其他人也研读过这些讲义，其中著名的有阿贝尔和狄利克雷，他们在1820年代都在巴黎待过，黎曼也读过这些讲义。 柯西摆脱了拉格朗日的形式化途径，排斥了“代数的模糊性”。虽然柯西是受到直觉（几何直觉和其他直觉）的指引，他清楚地知道直觉有时会引人进入歧途，并且举了一些例子说明紧贴准确的定义的价值。其中一个著名的例子就是给出了一个函数：当x≠0时，其值为
而当x=0时，其值为0，这个函数可以微分无穷多次，然而其泰勒级数却不收敛于此函数。尽管柯西给出了这个例子，而且在自己的讲义中讲到它，柯西却不是反例的专家，事实上，通过反例来澄清定义这个潮流还是后来的发展。 阿贝尔干了一件使他非常出名的事情，他使人注意到柯西工作中的一个错误，这就是柯西声称一个收敛的连续函数级数必有连续的和，而在1826年，阿贝尔给出以下级数作为反例：
它在π的奇数倍处是不连续的。柯西只是在后来好几位作者都指出这个现象以后，才明白了收敛与一致收敛的区别。历史学家们关于这个错误写过许多文章，其中有一篇 Bottazini的文章颇有影响，提出由好多柯西并不认为阿贝尔的例子有效的理由、看来柯西当时就已经知道这个例子。 黎曼，积分和反例 黎曼由于以他命名的黎曼积分而与分析的基础不可分地联系起来了。这个积分已经是每一个微积分课程的一部分了。黎曼的工作中有许多地方很自然地会引起严格性问题，他的创造性极大地引导着研究者把他的这些洞察力精确化。 黎曼的定积分定义见于他在1854年的就职论文。在这篇文章里，黎曼把柯西的概念推广到函数不一定连续的情况。他做这个工作是作为他对傅里叶级数展开式的研究的一部分。这种级数的广泛的理论是由傅里叶在1807年给出，但是到1820年代才发表的。傅里叶级数把一个函数在一个有限区间上写成以下的级数形式：
黎曼的工作的直接灵感来自狄利克雷，狄利克雷改正了柯西在函数的傅里叶级数展开何时收敛又是否收敛于它所来自的函数这个问题上的毛病。1829年，狄利克雷证明了若一个函数以2π为周期、在一个如此长度的区间上可积分，而且没有无穷多个极大与极小，则其傅里叶级数收敛于它，但在间断点上则收敛于来自两侧的两个极限值的平均值。正如狄利克雷说的那样，"这个主题与无穷小计算有最密切的联系，因此可以用于把无穷小计算搞得更清晰与确定"。黎曼想把狄利克雷的研究作进一步推广，因此对于狄利克雷的每一个条件都作详细研究，这样，他就把定积分的概念推广如下：
部分地是与积分的这个定义相关，部分地是为了说明这个定义的力量，黎曼给出了在任意区间上都不连续但仍然可积的函数的例子。这样，积分在每一个区间中均有不可微分的点。黎曼的定义就这样使得微分与积分的互逆性质也成了问题，他的例子就把这件事大白于天下了。到了这个时候，这种“病态的”反例在推进严格性上面的作用，虽然在柯西那里已经可以见到，现在更是大大加强了。 黎曼的定义是在他1866年去世后的1867年发表的。黎曼的定义的普及与推广是与人们越来越领会到严格性的重要性同步前进的，而这又是与魏尔斯特拉斯学派相关的。黎曼的定义集中注意于不连续点的集合，所以又是康托在1870年代以后有极限点的集合的种子。
狄利克雷原理的应用可以看成是黎曼的工作引起对分析基础的关注的进一步的例子。与他对于复分析的研究相关，黎曼被引到研究所谓狄利克雷问题的求解这就是：给定一个函数 g 定义在一个平面闭区域的边缘上，是否存在一个函数f，在区域的内域满足拉普拉斯偏微分方程，而在边缘上取g同样的值？黎曼断定答案为是。为了证明这一点，黎曼把这个问题化为证明存在一个函数，使定义在次区域上的一个积分最小化，而且在物理学的基础上论证这个最小化函数一定存在。甚至当黎曼还在世时，魏尔斯特拉斯就对此提出了质疑，并且在1870年发表了一个反例。这就导致了许多其他数学家重新来陈述黎曼的结果，并用其他方法给以证明，最终，在精确而广泛的条件下恢复了狄利克雷原理的适用性，是由希尔伯特在1900年给出的。 |
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