|
如若转载请联系原公众号 几年前当我刚上大学那会，我曾经问过我一位学计算机同学的一个问题：计算机是如何计算诸如 或者 这种运算的？当初这个问题曾经困扰了我好长时间，这个问题并非是我当年在微积分课堂上解决的，而是直到我后来接触编程后才彻底恍然大悟。那么计算机究竟是如何计算这类运算呢？带着这个问题，我们先来看看当年比尔盖茨在上世纪七十年代写的BASIC解释器的部分源代码吧。 代码部分内容： 完整源代码链接 https://www./docs/M6502.MAC.txt 盖茨的这些代码公布于两年前，当时在网上引起了不小风波。 对于这段汇编代码，即便你看不懂，但你仅从注释部分（我标注的红框内）也能猜出是计算正弦sin函数的方法。如果你汇编基础好的话，仔细研究，发现盖茨用的正是泰勒公式来逼近这个 函数的。也即： 暂且不说编程逻辑、算法效率方面如何，单是从注释习惯方面已经足够秒杀现在大部分的软件从业人员了。如果非要说算法的话，这个算法已经是被盖茨压榨到了极限，开始部分就先判断象限，再将角度进行区间的转化。 要知道，在比尔盖茨那个年代，市场上还没有软件工程这个概念。。。而盖茨这部分代码却包含了完整的注释，极简的算法。想想多恐怖。 嗯，扯远了，今天我们不聊汇编，主要聊一聊盖茨使用的这个算法，也就是泰勒级数。 盖茨使用的这个算法，延续到了现代计算器上面。 无独有偶，前不久微软在GitHub上面开源了其Windows上面自带计算器应用的C++源代码（计算引擎部分用C++，UI部分使用C#） 部分C++源代码: 完整代码且看 https://github.com/Microsoft/calculator 对于上面的代码，得益于微软工程师完美的代码注释，即便你没有编程基础的话，你依然能够从注释里面看出本行代码的大致意思，没错，这段代码就是求余弦 的函数。再仔细观察注释部分，你能发现，哈哈，你能发现微软的工程师挺皮的，居然把 函数的泰勒展开给画出来了。我甚至怀疑微软的工程师是不是继承了盖茨的编码注释风格，居然如此详细。 如果那两段汇编你可能看不懂的话，那么上面这段C++代码你肯定能有所领悟。其实这段代码跟上面那段汇编有同样的功能，都是计算三角函数，而所用的方法也一样，都是泰勒展开。至于微软为什么不直接使用c++提供的math库函数，而非要再造一个轮子来计算这类函数，我个人猜测可能有两个原因，一个是历史遗留问题，也许早年c++还没有math库，另一个我觉得使用库函数的话会造成编译出来的二进制文件过大，也许微软也担心这个问题。当然这都是我个人的猜测，但这里不做重点讨论。 其实，计算器求解我们所知道的几乎所有的函数都是使用泰勒展开方法，例如 , , 等等。 那么泰勒级数为什么能逼近我们我们所需要的函数曲线呢？为了解决这个问题，我们先从一个简单速度的问题说起。 假设小明坐在一辆车上，车的行驶速度随时间 变化为 .小明突然很想知道当 时刻他的行驶速度。这可把小明给难住了，因为他手上没计算器，又没三角函数表可查。如果是特殊的函数点位的话，大不了他运用运用和差公式直接就可以计算出来，但是这种情况该怎么办呢？ 万般无奈的小明想到，如果我能把这个速度指数函数转化成只有加法或者乘法的函数，那该多好。 小明想到，如果定义一个只有加法乘法的函数 ，让它在某点的值与 的值一样，后面为了保证它们两个的增长趋势一样，让它们两个的速度的变化率（导数）一样，变化率的变化率（导数的导数）也一样，变化率的变化率的变化率（导数的导数的导数）也一样。。。，那么后面的两者函数的值不应该是很接近吗？ 在一定条件下成立呢？ 于是，小明定义了一个只有加法与乘法的函数 来表示所有可能的多项式： 可是如何才能让g(x)逼近f(x)呢，换句话说，如何取得合适的 才能让 成立呢？ 小明观察了 的函数图像： 他发现，在(-π,π)区间之内， 函数的图像很像抛物线。舍繁取简，他也用抛物线来近似。于是他讲 简化，定义为： 可即便这样，还是要找出三个变量的值。于是小明进一步思考，已经知道 了，求得的 至少也得让他们两者在 处相等，也即： 代入计算： 也即 变成： 可是在那么多的 与 当中，如何取值呢？ 于是，小明再观察图像，他为了保证在 附近这个抛物线逼近 ，他让两者的切线斜率一致，这样就保证了两个函数的加速度保持一致，也即： 代入计算： 也即 ，这样 也就更简单了，直接剩下最后一个系数： 这时候小明再观察图像，发现两者似乎又进了一步： 为了求出最后一个 ，小明再观察图像： 小明发现在 附近，也即(-π/2,π/2)附近， 是一个凸函数，而且斜率不断减小，这时为什么不让他们的斜率的增长率也保持一致呢？也就是说让两个函数在 处加速度的加速度也相等，也即他们的二阶导数相等： 代入计算： 求得 ，从而得到 再观察图像： 这时候发现，经过三次的求导运算，两者函数在 周围已经非常接近了。我们来实际验证一下用 逼近 的误差有多大： 两者误差仅为0.00005，完全在我们可接受的范围之内。于是乎，小明忽然明白了为什么 与 是等价无穷小了（当初的我曾经对这个公式大惑不解）。 可是小明依旧不满足，他在想我只求了两次的倒数，如果我让变化率的变化率的变化率的变化率的变化率。。。。也相等的话，误差会不会更小呢？ 于是小明持续往下计算
发现越往后，越精确，但是代价就是计算量越大。而往往，我们直接舍去后面的高阶无穷小，仅需要前三四项即可满足我们的要求。 可是，小明突然又想到，这样只是计算在 处附近的函数值，如何让 逼近 的任意一点比如 呢？很简单只要将 替换成 即可，推导过程也一样，只是不会像x=0处那样把奇数项给消掉了：
小明大喜，用这种方法在没有计算器的情况下几乎可以计算任何函数的数值了，虽然有一定误差，但误差完全在我们容忍范围之内。于是他又用同样的方法计算了 在 处的泰勒展开： 具体步骤为： 1),先让函数值相同，也即 得到： 2),再让一阶导数相等 得到： ...... 最后让n阶导数数相等 ( 的 阶导数仍是 ) 得到： 最后得出： 当 不断增大的时候，小明惊奇地发现在固定区间内，两者几乎完美地融合在了一起：
可是小明纵然知道了其中的推导原理，但他依然不太直观理解泰勒级数为什么会逼近原函数。我在上文「深入浅出线性代数的理解及应用」中曾经引用笛卡尔的名言，说明几何对抽象代数理解的重要性。同样，在这里也不例外，泰勒级数在几何上也有明确的意义： 泰勒级数的几何意义 如图下所示，我们假设黄色的曲线函数为 ，在 区间内连续。点 为点 周围（微小的邻域）内任意一点。
我们再定义一个积分函数： 由于 是 的原函数（注意， 是积分函数， 才是曲线函数），因此： 积分函数 连续，因此可以分成两个积分区间： 这两个积分区间实际上由三部分构成。根据积分的实际几何意义，我们知道 代表图中阴影部分的面积，我们记为 .而面积A由三部分构成，分别是 扫过的曲边多边形 ，矩形 ，曲边三角形 ：
我们记三部分面积分别为 ，也即： 曲线 在任意一点的切线斜率为 ，也即 .如果 越接近 ，那么这个斜边越接近曲线 ：
切线 在点 处的斜率为 也即 而这个矩形的高即 ，它的面积： 也即： 上面这个式子不正是泰勒级数展开的二次多项式吗，不过不要忘了，这个式子与 之间的关系是约等于。如果 无限逼近 ，那么我们完全可以用 来近似 ,也就是说省略掉后面的矩形与三角形，只剩下一项。而实际上我们省略了后面的高阶无穷小，在一般情况下，精度已经够高了。 这便是泰勒级数在几何上面的解释。  |
|
|
