引子求解摆球的高度，蓝色线处为最低点
cos
θ
\cos\theta
cosθ函数在这里显得很难求解 ，而且，
但当你采用近似的时候，问题就简单多了
当把约等于号左右两边的式子在图像上画出来后会发现，至少在
θ
=
0
\theta=0
θ=0附近，两者的图像确实十分接近
那么上式中的二次级数是如何出现的呢？该怎样近似呢？
学习泰勒级数，很大程度上就是为了在某个点附近用多项式函数，去近似其他函数。原因在于多项式比其他函数处理起来要容易的多。多项式函数计算容易，易于求导和积分
函数
c
o
s
(
x
)
cos(x)
cos(x)的近似二阶近似现在先让我们看一看，在
x
=
0
x=0
x=0处，如何使用二次多项式来近似
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)
设
P
(
x
)
=
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
P(x)=c_0+c_1x+c_2x^2
P(x)=c0+c1x+c2x2，若随意选择多项式前的系数，以保证
cos
(
x
)
=
P
(
x
)
\cos(x)=P(x)
cos(x)=P(x) ，那么这些系数该是多少呢？
先将
x
=
0
x=0
x=0分别代入
cos
(
x
)
和
P
(
x
)
\cos(x)和P(x)
cos(x)和P(x)，假定两式相等，则可求得
c
0
=
1
c_0=1
c0=1
而当
x
=
0
x=0
x=0代入
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)和
P
(
x
)
P(x)
P(x)，计算得到
c
0
=
1
c_0=1
c0=1后，
c
1
和
c
2
c_1和c_2
c1和c2的值可以随意选取而对等式没有影响，因为
x
=
0
x=0
x=0带入
P
(
x
)
P(x)
P(x)后直接将后面两项的值变成0
如果可以保证当
x
=
0
x=0
x=0时，
cos
(
x
)
和
P
(
x
)
\cos(x)和P(x)
cos(x)和P(x)不仅函数值相等，斜率也相等的话，那样岂不是更加精确么？否则，稍微偏离一点
x
=
0
x=0
x=0，二者的函数值就会有很大偏差，那么该怎么求呢？——求导，计算斜率：
这里常数
c
1
c_1
c1掌握着我们在
x
=
0
x=0
x=0处对一阶导数（斜率）的近似，所以让
c
1
=
0
c_1=0
c1=0，那么我们的近似函数
P
(
x
)
P(x)
P(x)的导数也变成了0
c
0
c_0
c0保证了
P
(
x
)
P(x)
P(x)和
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)在
x
=
0
x=0
x=0处的值近似相等， c
1
c_1
c1保证了二者在
x
=
0
x=0
x=0处的斜率近似相等， 而剩下的
c
2
c_2
c2可以保证
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)和
P
(
x
)
P(x)
P(x)函数的斜率的增长率近似相等，也可以说是曲线的曲率近似相等。
下面我们计算
c
2
c_2
c2，核心在于求解
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)和
P
(
x
)
P(x)
P(x)的二阶导数：
计算得到
c
2
=
−
1
2
c_2=-\frac{1}{2}
c2=−21。下面我们验证一下
P
(
x
)
P(x)
P(x)对
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)的近似效果如何：
二阶近似
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)总结
这样一来，当你利用这三个给定的系数，让
x
x
x的取值在
0
0
0附近增减时，你近似函数的函数值的变化率（也就是斜率）和近似变化率的变化率（也就是曲率）就可以让
P
(
x
)
P(x)
P(x)尽可能的接近
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)函数本身了。
增加阶数近似我们也可以多添加几项高次项使得
P
(
x
)
P(x)
P(x)对
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)函数的近似更精准。比如三次项：
求得
c
3
=
0
c_3=0
c3=0，因此
P
(
x
)
=
1
−
1
/
2
x
2
P(x)=1-1/2x^2
P(x)=1−1/2x2，不仅仅是
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)在
x
=
0
x=0
x=0处最佳的二阶近似函数，同时也是最佳的三阶近似函数。
还可以给
P
(
x
)
P(x)
P(x)增加一个四次项，这样在
x
=
0
x=0
x=0处，
P
(
x
)
P(x)
P(x)的图像就更加接近
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)的图像了
因此，当我们求解这个物理问题时，牵扯到求一个很小的角度的
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)值时候，我们用多项式去近似，求解的
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)值基本上丝毫不差了。
继续延伸阶乘的形式是自然而然出现的。你对
x
n
x^n
xn连续取n次求导，多项式求导法则一层套一层，最后就会剩下一个为
1
∗
2
∗
3
∗
∗
.
.
.
=
n
!
1*2*3**...=n!
1∗2∗3∗∗...=n!的常数。所以近似多项式中，第n项的系数并不是高阶导数本身，你需要再除以n个阶乘，来抵消这个效应。 其次，当我们往近似多项式中添加更高次项时，低阶的项并不会因此而改变。因此多项式任意n阶的导数在
x
=
0
x=0
x=0的值都由唯一的一个系数控制
如果你想用多项式估计一个非零点附近的结果，比如
x
=
π
x=\pi
x=π，那么你换成使用
P
(
x
)
P(x)
P(x)关于
（
x
−
π
（x-\pi
（x−π）而不是
x
x
x的多项式就可以得到相同的效果。
在一点处的各阶导数值的信息，转化成那一点附近函数值的信息
知道了
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)的所有高阶导数，其实也就了解了关于
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)的许多信息，即便你只关注在
x
=
0
x=0
x=0一个取值
泰勒多项式经过几个步骤的处理之后，我们得到的
P
(
x
)
P(x)
P(x)多项式，叫做
cos
(
x
)
\cos(x)
cos(x)的泰勒多项式
泰勒级数的直观理解（假设为时间x和速度y的关系） f
(
a
)
f(a)
f(a): 表示从时刻a开始，当前的里程表的数值
f
(
a
)
f(a)
f(a)是多少 一次项：拟合匀速运动，速度与时间的乘积 二次项：拟合匀加速度运动，比只拟合匀速运动接近
f
(
a
)
f(a)
f(a)值更加精确 三次项及以上：加速度也不是常数，用三次项表征加速度的变化率，以此类推到无穷多项
泰勒级数的定义:
在数学上，对于一个在实数或复数
a
{\displaystyle a}
a邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f(x)，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数： ∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
n=0∑∞n!f(n)(a)(x−a)n
这里，
n
!
{\displaystyle n!}
n!表示
n
{\displaystyle n}
n的阶乘，而
f
(
n
)
(
a
)
 ​
{\displaystyle f^{(n)}(a)\,\!}
f(n)(a)表示函数
f
f
f在点
a
a
a处的
n
n
n阶导数。如果
a
=
0
a=0
a=0，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。 对任意函数近似更加普遍的，我们需要近似任何函数的时候，都可以对其求导，获取各阶导数和导数在
x
=
0
x=0
x=0的值，
x
n
x^n
xn项对应的系数就应该为
x
=
0
x=0
x=0时函数的n阶导数值 再除以
n
！
n！
n！
如果你想求得不是
x
=
0
x=0
x=0而是
x
=
a
x=a
x=a附近的近似，你就要用
(
x
−
a
)
(x-a)
(x−a)来改写多项式，然后计算在
(
x
−
a
)
(x-a)
(x−a)处
P
(
x
)
P(x)
P(x)的各阶导数值。这样，改变
a
a
a的值，就可以调整多项式函数在哪里近似原始函数了。
至此，泰勒多项式就能试用于所有的情况了。
example
e
x
e^x
ex
泰勒级数的几何意义待续
其他级数从其他视频资料中作为补充，请参考【补充资料参考】
几何级数1
1
−
x
\frac{1}{1-x}
1−x1的级数展开如下式，注意
x
x
x的取值范围为
0
<
x
<
1
0<x<1
0<x<1
f
(
x
)
=
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
.
.
.
+
x
n
f(x)=\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^n
f(x)=1−x1=1+x+x2+x3+x4+...+xn 几何级数积分−
ln
(
1
−
x
)
-\ln{(1-x)}
−ln(1−x)的级数展开如下式，注意
x
x
x的取值范围为
0
<
x
<
1
0<x<1
0<x<1
f
(
x
)
=
−
ln
(
1
−
x
)
=
x
+
x
2
/
2
+
x
3
/
3
+
x
4
/
4
+
.
.
.
+
x
n
/
n
f(x)=-\ln{(1-x)}=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...+x^n/n
f(x)=−ln(1−x)=x+x2/2+x3/3+x4/4+...+xn/n 二项式定理帕斯卡三角
(
1
+
x
)
0
=
(1+x)^0=
(1+x)0=
1
1
1
(
1
+
x
)
1
=
(1+x)^1=
(1+x)1=
1
+
1
x
1+1x
1+1x
(
1
+
x
)
2
=
(1+x)^2=
(1+x)2=
1
+
2
x
+
1
x
2
1+2x+1x^2
1+2x+1x2
(
1
+
x
)
3
=
(1+x)^3=
(1+x)3=
1
+
3
x
+
3
x
2
+
1
x
3
1+3x+3x^2+1x^3
1+3x+3x2+1x3
…
(
1
+
x
)
p
=
(1+x)^p=
(1+x)p=
当
(
1
+
x
)
p
(1+x)^p
(1+x)p中
p
p
p不等于整数时，比如
p
=
1
/
2
,
−
1
,
π
p=1/2, -1, \pi
p=1/2,−1,π等时，该如何展开？ 该问题可以用泰勒级数展开
令
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
p
f(x)=(1+x)^p
f(x)=(1+x)p
则：
(
1
+
x
)
p
=
1
+
p
x
+
p
(
p
−
1
)
2
!
x
2
+
p
(
p
−
1
)
(
p
−
2
)
3
!
x
3
+
.
.
.
(1+x)^p=1+px+\frac{p(p-1)}{2!}x^2+\frac{p(p-1)(p-2)}{3!}x^3+...
(1+x)p=1+px+2!p(p−1)x2+3!p(p−1)(p−2)x3+... 所以，二项式定理就是泰勒级数的展开的一个应用 (
1
+
x
)
3
=
(1+x)^3=
(1+x)3=
1
+
3
x
+
3
x
2
+
1
x
3
1+3x+3x^2+1x^3
1+3x+3x2+1x3 展开为啥没有三阶以后的项了？
由于这个函数最高次幂为3三次，连续求导三次之后，再次求导所有项均为0了，所以后面的高次展开项就没有了。 但是，如果
p
=
1
/
2
,
−
1
,
π
p=1/2, -1, \pi
p=1/2,−1,π等时，求导不会使导数为0，则高次项就会持续下去。
引用本文主要参考下列视频内容，感谢视频作者及翻译的无私奉献！
补充资料参考
英语多项式函数：polynomials
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