一、函数连续定义及等价描述 1、函数连续的三个要素 有定义、极限存在、极限值等于函数值. 2、函数连续定义的几种等价描述 (3) 分段函数的分界点,区间端点连续性的证明,分别用左连续与右连续的定义来证明. 即 二、间断点及其类型 1、间断存在的情况 只有定义区间的分割点与定义域内(如分段函数的分界点)的点才有可能为间断点. 函数间断点的判定与连续性的三要素对应,满足如下三个之一即为间断点: (1) 函数在x0处无定义; (2) 函数在x0处有定义,但x→x0函数极限不存在; (3) 函数在x0处有定义,x→x0函数极限存在,但极限值不等于函数值. 2、间断点的分类 依据左右极限的存在性,可将间断点分为两个大类,四个小类: ●第一类间断点:左右极限存在. 当左右极限相等,则为可去间断点;左右极限不等,则为跳跃间断点 ●第二类间断点:左右极限至少有一个不存在;如果有一个极限趋于无穷大,则为无穷间断点;否则称为振荡间断点 3、函数间断点的判定 (1) 求函数的定义域,找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点xk; (2) 对xk求函数的左右极限,由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势,确定间断点及类型。 三、连续函数运算法则与初等函数连续性 ● 基本初等函数在定义区间内连续 所以初等函数在定义区间内连续. 初等函数在定义域上不一定连续,比如有些函数的定义域为由一些离散点构成的集合,则可能在任意点都不连续. 四、有界闭区间上连续函数的性质 在探索求解问题的过程中,只要看到或者推导出“闭区间上连续函数”这样的描述,应该要在草稿纸上马上写下,或者脑海中马上能够浮出如下结论: 1、有界性定理 有界闭区间上连续的函数是有界的. 2、最值定理 有界闭区间上连续的函数是能够取到最大值与最小值的;在闭区间上至少存在一点使得函数取到最小值,也至少存在一点使得函数取到最大值 3、介值定理(中间值定理) 位于有界闭区间上连续函数最小值与最大值之间的任何值,在闭区间上至少存在一点使得函数值就等于该值 4、零值定理(零点定理):如果闭区间两个端点的函数值异号,则在闭区间内至少存在一点使得函数值等于0 【注】注意最值、零值、介值定理不包含端点的描述. 如果,在 上连续,是函数在该区间上的最大值,是函数在该区间上的最小值,则 五、借助零点定理证明中值等式的基本思路 借助零点定理(介值定理)可以证明方程根的存在性,或者函数零点的存在性,常用方法: 1、直接法 先用最值定理,再用介值定理 2、间接法 先作辅助函数F(x),验证F(x)满足零点定理,再由零点定理得出命题的证明. 其一般思路为: (1) 变换需要验证等式为简单形式; (2) 将所有项移到等式一侧,一般移到左侧,右侧为0; (3) 令左侧的中值符号为变量x,则令其为辅助函数F(x); (4) 针对讨论的闭区间,或者依据已知条件构造合适的闭区间[a,b],在闭区间上探讨F(x)的连续性和F(a)F(b)的符号; (5) 如果乘积等于0,则中值即为端点值,结论成立;如果乘积小于0,则区间内存在零点,结论成立. (6) 改写得到的辅助函数零值等式,得到需要验证结论. 其中前三步是关键,合适的辅助函数是成功证明的关键!如果依据构建的辅助函数不成功,则重复以上步骤,重新考虑辅助函数的构建! |
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