第十七讲 连续函数的运算与初等函数的连续性

定理1 （连续的四则运算法则） 

    设函数f(x)和g(x)在点x0连续, 则函数f(x)±g(x), f(x)×g(x),(当时)在点x0也连续.

    f(x)±g(x)连续性的证明:

    因为f(x)和g(x)在点x0连续, 所以它们在点x0有定义, 从而f(x)±g(x)在点x0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有

.

    根据连续性的定义,  f(x)±g(x)在点x0连续.

例 sin x 和cos x 都在区间(-¥, +¥)内连续,故由定理1知 和cot x 在它们的定义域内是连续的.

    三角函数sin x, cos x, sec x, csc x, tan x, cot x在其有定义的区间内都是连续的.

    定理2（反函数的连续性） 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x=f -1(y)也在对应的区间Iy ={y|y=f(x),xÎIx}上单调增加(或单调减少)且连续.

    例 由于y=sin x在区间上单调增加且连续, 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.

    同样,y=arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y=arctan x 在区间(-¥, +¥)内单调增加且连续;y=arccot x 在区间(-¥, +¥)内单调减少且连续.

    总之, 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的.

    定理3 （复合函数的连续性） 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, 若函数u=g(x)在点x0连续, 函数y=f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y=f[g(x)]在点x0也连续.

    例 讨论函数的连续性.

    解 函数是由y=sin u及复合而成的.

    sin u当-¥<u<+¥时是连续的, 

    当-¥<x<0和0<x<+¥时是连续的,

根据定理3, 函数在无限区间(-¥, 0)和(0, +¥)内是连续的.

 初等函数的连续性

    在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的.

    我们指出, 指数函数ax (a>0, a ¹1)对于一切实数x都有定义,且在区间(-¥, +¥)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +¥).

    由定理2, 对数函数log ax (a>0, a ¹1)作为指数函数ax的反函数在区间(0, +¥)内单调且连续.

幂函数y=xm 的定义域随m的值而异, 但无论m为何值, 在区间(0, +¥)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +¥)内幂函数是连续的.事实上, 设x>0, 则

y=xm=, 因此, 幂函数xm可看作是由y=au, u=mlogax 复合而成的, 由此, 根据定理3, 它在(0, +¥)内是连续的.如果对于m取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.

    结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.

最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论：切初等函数在其定义区间内都是连续的.

所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.

初等函数的连续性在求函数极限中的应用：如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点,则f(x)=f(x0).

    例1  求.

    解 初等函数f(x)=在点是有定义的, 

所以    .

    例2. 求.

    解  初等函数f(x)=ln sin x在点是有定义的, 

所以    .

    例3 求.

    解  

                        .

    例3  求.

    解 .

    例4  求.

    解  令a x -1=t, 则x=log a (1+t), x ®0时t ®0, 于是

        =.