【原】11.2：魏尔斯特拉斯逼近定理和阿尔采拉-阿斯科利定理

不厚道的开始了幂级数（虽然代码还没打到这里

设函数在上连续，且证明:

为证明,可证明：,这个请读者自证，注意到连续

由第一逼近定理可知：存在多项式,有：

我们不妨记：

当然也可以写成其他形式，自己注意就好,所以有：

现进行积分，注意到题目条件且，，所以有：

所以，

设是上的连续函数.证明：

1.是奇函数的充要条件是

2.是偶函数的充要条件是

我们只证明第一问，第二问不证自明：

为证明为奇函数,可证明：

模仿上一题，根据逼近定理有,记：

所以：

注意到因为是多项式，所以为阶数只含偶数项的多项式，所以：

, 余项极限为0，所以：

,为奇函数

1.设在上连续，,且证明：在上恒等于一常数；

2.设是上连续的周期函数，且证明：是奇函数；

3.设是上连续的周期函数，且证明：是偶函数；

先证第一问：第二问，第三问用类似上边的思路就可以了

利用第二逼近定理：存在三角多项式使成立：

为证函数为常数，可证：

同时注意到(有点傅里叶级数的意味了)， 所以：

余项极限为0，所以：：

函数为常数(这里取)

定义多项式列如下：

试按照以下思路证明在上一致收敛于函数:

2.证明当时，

3.证明当时，

4.证明在上一致收敛于函数.

(2):

假设,由数学归纳法易得题目所得条件

(3):由一中等式可得：

所以迭代可得：

将放缩为0，即得所证又因为：

求导即得，所以收敛且与无关，即一致收敛

设是上的连续函数，且.定义多项式列如下：

其中试按照以下思路证明在上一致收敛于:

1.把在区间之外做零延拓(当或时令),使之成为上的连续函数.证明把这样延拓后，成立等式

2.证明从而对任意,当时有

因此当时，在上一致收敛于零;

3 证明在上一致收敛于.

(1):直接换元就出来了，换元后得：

因为做了题目中的延拓，所以

(2):注意到这里是由Wallis公式的，换个元即得

注意到

故题设显然成立

(3):有了第二问的基础，第三问不证自明

(4):注意到这个事实

所以由：

证毕

设是上的连续函数，且证明整系数多项式列

在上一致收敛于.

注意到那是个取整符号，这里需要用伯恩斯坦多项式

这里


记,只需要证明这个东西是趋于0就好

同时注意到这个东西是等比数列，直接进行求和就行了

数列求和得：

事实上对于任意的,这个求和都是趋于0，的(这个自己验证)所以点态收敛，现证明他单调递减

所以根据迪尼定理，它一致收敛(具体过程还需要自己补充完整)

设是定义在区间上的一列连续函数.证明以下三个条件中的任何一个都能保证在上等度一致连续：

1.在上一致赫尔德连续，即存在常数和使成立：

2 .每个都在上可微，且存在常数使成立：

3.每个都在上可微，其导函数在的每个有界闭子区间上可积，并存在小于区间的长度的正数和常数使对任意区间都成立： 

(1):对任意的,时，：

故等度一致连续

(2):因为可微，所以

所以：

对任意的,时

故等度一致连续

(3):

即：导函数是有界的，由于的任意性，将区间分为有限个小区间，在每个小区间上取导函数的上界，所以回到命题2\

设是区间上的一列函数.

1.证明：如果在上等度一致连续且逐点收敛于函数，则在上一致连续;

2.设.如果对任意给定的,存在相应的,使对任意满足条件的都成立

则称在点等度连续.如果在中每点都等度连续，则称它在上逐点等度连续;证明：如果在上逐点等度连续且逐点收敛于函数，则在上连续.

(1):事实上由任意的,

两边同时取极限，所以：

所以一致收敛

(2):事实上对于任意的,都有相应的,使在区间上满足逐点等度连续 ，所以区间：

构成区间的一个开覆盖，所以可以选出有限个开区间来覆盖，即：

所以对于任意的,他都落在相应的小区间内.都有

两边同时去极限，即得：

证毕