本节针对闭区间连续函数的性质
一、最值定理
若 f(x)∈c[a,b], 则f(x)在[a,b]区间内必存在最小值m和最大值M。
二、有界定理
若 f(x)∈c[a,b], 则必定存在N=max{|m|,|M|}，使得f(x)在[a,b]区间内|f(x)|<N
三、零点定理
若 f(x)∈c[a,b],且f(a)f(b)<0，则必有c∈(a,b)，使得f(x)=0
例1：证明方程 x^5-5x+1=0有一正根
令f(x)=x^5-5x+1 f(x)∈c[0,1]
f(0)=1, f(1)=-3
所以f(0)f(1)<0
由零点定理知必存在c∈(0,1)使得f(c)=0
即方程 x^5-5x+1=0有一正根，并且该正根在[0,1]内
例2：f(x)∈c[0,1], f(0)=0, f(1)=1, 证：存在c∈[0,1]使得f(c)=2/3
令g(x)=f(x)-2/3
g(x)∈c[0,1], g(0)=-2/3, g(1)=1/3
所以g(0)g(1)<0
所以存在c∈[0,1]使得g(c)=0
即f(c)=g(c)+2/3=2/3
所以存在c∈[0,1]使得f(c)=2/3
四、介值定理
若 f(x)∈c[a,b], 则对于所有的η∈[m,M], 存在ξ∈[a,b]， 使得f(ξ)=η
证明方法类似于例2.
五、Notes
1、f(x)∈c[a,b]，存在c∈(a,b)，应该用零点定理
2、f(x)∈c[a,b]，存在c∈[a,b]，且有函数值之和的，用介值定理
3、可以理解为开区间用零点定理，闭区间用介值定理
例3：f(x)∈c[a,b], p>0,q>0, p+q=1
证明：存在c∈[a,b],使得f(c)=pf(a)+qf(b)
m<=f(a)<=M -> pm<pf(a)<pM (1)
m<=f(b)<=M -> qm<qf(b)<qM (2)
(1)+(2) -> (p+q)m<=pf(a)+qf(b)<=(p+q)M
因为p+q=1，所以m<=pf(a)+qf(b)<=M
由介值定理，存在c∈[a,b],使得f(c)∈[m,M]
即存在c∈[a,b]，使得f(c)=pf(a)+qf(b)
例4：f(x)∈c[0,2], f(0)+2f(1)+3f(2)=6
证明：存在c属于[0,2],使得f(c)=1
因为：0,1,2∈[0,2]
所以
m<=f(0)<=M
m<=f(1)<=M -> 2m<=2f(1)<=2M
m<=f(2)<=M -> 3m<=3f(2)<=3M
所以6m<=f(0)+2f(1)+3f(2)<=6M
又因为f(0)+2f(1)+3f(2)=6
所以m<=1<=M
所以1∈[m,M]
由介值定理
对于1∈[m,M], 存在c∈[0,2], 使得f(c)=1
得证！
