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思路一：使用介值定理证明 若问题中条件与结论中包含有闭区间上连续函数值相关的结论，可以考虑借助闭区间上的连续函数相关的定理，比如最值定理、介值定理来分析、讨论相关证明，获取相关结论. 例1【推广的积分中值定理】设f(x),g(x)在[a,b]上是连续函数，且g(x)在[a,b]上不变号。证明：至少存在一点ξ∈[a,b]，使得下式成立 【证明】：据题目条件，f(x)在[a,b]上是连续函数，由闭区间上的连续函数的最值定理，可知f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m，即 m≤f(x)≤M. 由g(x)在[a,b]上不变号，不妨设g(x)≥0，从而有 mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x). 两端同时积分，有 (1) 若 任取ξ∈[a,b]都成立。 (2) 若 由a<b，从而有 从而有 由闭区间上的连续函数的介值定理，可知存在ξ∈[a,b]使得 即结论成立。 思路二：使用积分中值定理证明 若问题中出现定积分的值等于一函数在某点的值的等式，常先用积分中值定理处理，得到函数值相等的两个不同点，为使用罗尔定理创造条件。如果要构建使用罗尔定理的辅助函数，则可选用定积分中的被积函数。 例2【2001数学三】设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得 【证明】：由积分中值定理，至少存在一点 使得
从而，如果令
同时有
容易验证F(x)在[ξ1,1]上满足罗尔定理的条件，即存在ξ∈(ξ1,1)⊂(0,1)，使得
即结论成立。 例3设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内二阶可导，且
证明存在ξ∈(0,2)，使得f’’(ξ)=0. 【证明】：由积分中值定理，得到
在(ξ1,2)使用罗尔定理，得到f’(ξ2)=0；然后在(0,1/2)上使用罗尔定理，则有f’(ξ3)=0. 再在(ξ3, ξ2)上对f’(x)使用罗尔定理，则可得f’’(ξ)=0. 思路三：用泰勒公式证明 对于包含有二阶及二阶以上导数的问题，使用泰勒公式公式证明. 例4 设f’’(x)在[1,3]上连续，且f(2)=0。证明至少存在一点ξ∈(1,3)，使得
【证明】：将f(x)在x=2作一阶泰勒公式，有
注意η在2和x之间，是与x有关的变量。 利用推广的积分中值定理(例1)得到
在泰勒公式两端积分，利用
于是有
思路四：引入变限积分证明 积分上限函数的构造，一种是将讨论的函数表达式当做被积函数构造积分上限函数，借助题意中的积分条件构造验证问题；第二种是直接令积分的一个上限或者下限为变量，构造辅助函数. 例5 设函数f(x)在[0,1]上连续，且
证明存在一点ξ，使得
【证明】：将ξ换成x，则有
引入变限积分函数，有
从而归结证明存在ξ∈(0,1)，使得
为此验证F(x)满足罗尔定理条件，显然有F(0)=0，由条件有
所以使用罗尔定理，得结论成立. 例6【2000年数学三】设函数f(x)在[0,π]上连续，且
证明在(0,π)上至少存在两个不同的点ξ1, ξ2，使得 f(ξ1)=f(ξ2). 【证明】：令积分上限函数为
则F’(x)=f(x). 这样，问题只需证明存在ξ1, ξ2，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0. 为此需要找出F(x)的三个零点。事实上有 F(0)=0,F(π)=0. 又因为
则必存在ξ∈(0,π)，使得F(ξ)sinξ=0；否则F(x)sinx恒为正或者恒为负，与上式结论矛盾. 又因为ξ∈(0,π)，则sinξ不为零，所以必有F(ξ)=0。于是在[0,ξ],[ξ,π]使用罗尔定理有结论成立. 例7设函数f(x)在[0,1]上连续，且
证明在(0,1)上至少存在一点ξ，使得
【证明】：由已知条件
构造辅助函数
则有F(0)=F(1)=0，且有
从而使用罗尔定理可得结论成立. 积分上限函数求导数问题求解思路： 对于积分上限函数，如课件第一张幻灯片，对于不符合标准类型的积分上限函数求导（左边三个都为标准类型，即被积表达式中不含有求导变量x的类型，它们求导直接代入x即可），必须先将于积分变量无关的项提出到积分符号外面来，然后利用求导乘积运算法则求导，比如右边最下面一个；对于不能提出来转换为标准积分上限函数的基本，则采取换元法，转换为标准形式来做，比如右边上面两个，第一个令u=xt，第二个令u=x-t，这样再转换为其余四个类型来求导计算！ 参考课件，内容结合老师课堂讲授理解：
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