高数问答66 只有连续函数才存在原函数吗

问题  假设函数在区间上有原函数，请问在区间上一定是连续函数吗？

答  不一定是连续函数。

我们已经知道，由原函数存在定理，在区间上的连续函数必然存在原函数，但反过来结论是不成立的。

比如我们在前面多次碰到的函数

它在内处处可导，且导函数为

所以在内有原函数，但是其间断点。容易看出，这个间断点是第二类间断点。

下面我们证明我在前面多次提到过的一个命题。

命题 设函数在区间上有原函数,如果是的间断点，那么必为的第二类间断点。

证明  用反证法。假设是的第一类间断点，再由在点可导，从而由问题49中的定理(导数极限定理)我们有

以及

从而在点连续，与假设矛盾，从而结论得证。   □

由此可见，有第一类间断点的函数不存在原函数；函数连续是存在原函数的充分条件而不是必要条件。

今天结合导函数的性质讲了一类不存在原函数的函数，其实微积分中很多问题都可能把微分和积分对应进行考虑，有时候会让我们发现得更多。

今天就讲这么多，欢迎大家转发、分享和交流讨论。