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实变函数论是由法国数学家勒贝格(Lebesgue，1875-1941,师从著名数学家波莱尔)创立的，经过数代数学家的努力得到发展并且不断深化，现如今已经成为一门较为成熟的数学理论分支。尽管仍有很多数学家前赴后继地对实变函数进行理论分析，但是其研究的基础仍然是实变函数理论中最基本的概念。令人感到惊奇的是，利普希茨条件在实变函数里面也有一席之地，并且在某些结论的成立上起到了重要的奠基作用。在实变函数论中，有界变差函数和绝对连续函数均是函数的可微性和可积性理论中的重要基石。然而，利普希茨条件却与二者紧密相关。 一.利普希茨条件与有界变差函数的联系我们知道在数学分析里，在某一区间上满足利普希茨条件的函数一定是一致连续函数，而在实变函数论中也有相类似的结论。 ❝ 尽管连续函数与有界变差函数没有什么必然的关系，即有界变差函数不一定是连续函数，连续函数也不一定是有界变差函数。但是我们可以看出满足利普希茨条件的函数既是一致连续函数，也是有界变差函数，这是一个良好的性质结论。另外，关于有界变差函数与利普希茨条件的联系上，还有如下的结论成立。 ❝ 从上述定理我们可以看到，若将函数看作是一个映射（或者说是算子），那么它将有界变差函数映射成有界变差函数。 二.利普希茨条件与绝对连续函数的联系类似于利普希茨条件与有界变差函数的关系，我们完全可以将之前的定理照搬下来。 ❝ ❝ 实际上由实变函数理论可知，一个函数若是绝对连续函数则必是有界变差函数，因此我们由定理2可以直接得到定理4，由定理3可以直接得到定理1。另外，在数学分析中若一个函数满足利普希茨条件则必是一致连续的。不难证明，绝对连续函数同时也是一致连续函数。其实，绝对连续函数与利普希茨条件之间可以进行等价描述，它们都是可以等价于同一条结论，另外函数在上满足利普希茨条件也称为在上强绝对连续。 ❝ 三.利普希茨条件在函数可积性上的应用在实变函数论里，利普希茨条件不仅仅与有界变差函数与绝对连续函数有密切的联系，而且在函数可积性的问题解决上也有相应的作用。值得思考的一个问题是，若一个函数满足利普希茨条件，那么能否用一个形式上的表达式来对它进行刻画？下面的定理将会回答这个问题。 ❝ 实际上定理6指出了一个在闭区间上满足利普希茨条件的有限实函数的具体形式，即它可以表示为某个有界可积函数的不定积分。这样一个定理结论是极强的，并且具有极大用处的。该定理的内容在形式上类似于“泛函分析”理论中的里斯表示定理及里斯定理，即指出了满足利普希茨条件的函数的具体形式。此外，利普希茨条件在函数可积性问题上不仅仅止于此，若我们考虑两个满足利普希茨条件的函数，则可以得到下面这个定理。 ❝ 这里有必要说明一下积分的含义。有别于我们以往的黎曼（Riemann）积分，这里的积分实际上是黎曼-斯蒂尔切斯积分（简记为R-S积分或S积分），也是黎曼积分的一种推广。对于积分的定义方式，我们并不陌生，一般的步骤是“分割-取点-求和-取极限”，那么S积分的特殊之处在哪呢？注意到黎曼积分的微元，可以看成是每个取极限的结果。而S积分的微元是，所以也可以看成是取极限的结果。即我们考虑的和数为 对其取极限可得到. 若令其中的 ,则S积分变成R积分，由此便知S积分是R积分的一种推广。 对于定理7，我们可以将其进行推广，考虑三个满足利普希茨条件的函数情形，于是便得到下面这条推论。 ❝ 实际上，定理7不仅仅可以推广到三个函数情形，甚至可以将其推广到个函数的情况。对于满足利普希茨条件的函数个数为的情形，其定理内容和证明想法完全类似于上面所述。 参考文献[1]程其襄, 张奠宙, 魏国强等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[ M].高等教育出版社, 2004. |
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