【原】泛函分析：度量空间中的映射

度量空间中的映射

现在我们开始进入度量空间中的第三个主题：映射；关于映射的一般定义和一些基本概念，比如单射、满射、双射、像和原像这些我都不再介绍，相信大家已经是十分熟悉了.

连续映射

连续映射

连续映射-我们可以完全脱离度量空间来定义连续映射，即只用开集和闭集来定义，这样的(等价)定义我们在数学分析中应该已经遇到过，但是我们既然在度量空间中谈连续映射，还是应该带上度量空间的特点，至于它的一般性定义，我们只加以叙述，并不证明(尽管这些证明我们在拓扑学中还会遇到，且他们难度不大.)

定义1：设是一个度量空间，给定,称映射在处连续：如果对任意给定的,存在使得，对任意的,都有：

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我们刚刚谈了，连续映射是一个拓扑概念，而我们在拓扑结构中添加了度量结构，此时就要考虑这个度量结构和拓扑结构的相容性：即度量函数的连续性：

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定理1：设是一个度量空间，为任意指定的点，那么：是一个连续函数.

证明：只需反复利用三角不等式即可：

所以我们可以得到：

对任意的,只要,那么，所以这个函数是连续函数.

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更一般的，这个函数是二元连续函数！

定理2：设是一个度量空间,那么：是一个二元连续函数.

证明：同样的，我们还是利用三角不等式，加一项减一项：

所以命题得证.

下边叙述一些等价定义，我们在数学分析中曾经证明过这些定理，这里不再证明：

定理3：

1. 距离空间 到距离空间 中的映射 在点 连续的充分必要条件是对任何收敛于 的点列 , 有 收敛于 .

2. 距离空间 到距离空间 中的映射 连续的充分 必要条件是下列两个条件之一成立:

(i)对于 中的任一开集 的原像 是 中的 开集；

(ii)对于 中的任一闭集 的原像 是 中的 闭集.

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除了连续映射以外，还有一些其他比较重要的映射：

定义2：设 为距离空间, 距离分别为 又设 是由 到 的映射. 若 存在逆映射,且 及其逆映射 均连续,则 称 是 到 上的同胚映 射. 如果存在一个从 到 上的同胚映 射,则称 与 同胚.

同胚的概念我们在拓扑和微分流形中将会反复遇到.

最简单的同胚的例子：和()是同胚的，映射为.(利用这个例子，我们可以证明任何一个开区间都和实轴同胚.)

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还有之前我们在1.3节介绍的定义等距映射.

紧集上连续函数的性质

如同我们在数学分析中一样，紧集上的连续函数有很多良好的性质，如：一致连续；最值可达性；将紧集映为紧集.同样的，这些性质，我们也不证明，仅作陈述，他们的证明即使我们一时想不起来，但是一看书本的证明也应该立刻明白，否则数学分析就需要回头康康了！

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定理4：[紧集上连续函数的性质]

1. 设 为距离空间, 距离分别为 为 中的 紧集, 是由 到 中的连续映射,则 的像 是 中的紧集.
2. 设上述条件中的全部条件满足,则 在 上一致连 续,即对任给的 ,存在仅与 有关的 ,使得对任意的 , , 当 时, 有 .
3. 设 是距离空间, 是 中的紧集, 是定义在 上 的连续泛函,则 有界且可达到其上、下确界.

Banach不动点定理

接下来我们叙述泛函分析中一个最基本的定理：Banach不动点定理或者压缩映射原理.也许我们以前在数学分析中学习隐函数定理已经用过了，但是在这里我们必须重新对其进行说明，加深对它的理解：

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定理5：设 是完备的距离空间,距离为 是由 到其 自身的映射,且对于任意的 , 不等式

成立,其中 是满足不等式 的常数. 那么 在 中存在唯 一的不动点, 即存在唯一的 , 使得 , 且 可以用迭代 法求得.

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我们对该定理做一些说明：第一点注意到这个映射是个自映射，将映为;其次这个是一个固定的数，而不是一个小于1的数列，也不是这一点尤为重要.最后要注意到空间必须完备！

现在我们开始证明这件事情：我们任意选择中一个点，并且记：

我们会得到，这个数列是一个柯西列，因为：

注意到：

所以：

由于是基本列，函数空间是完备的，因此数列有收敛点,所以：

又因为是一个连续映射(思考为什么)，所以极限号可以进去，因此：

故命题得证.

在赋范空间中我们还会介绍其他的不动点定理.下边看一看这个定理的应用.

不动点定理的应用

微分方程解的存在性和唯一性定理

考察微分方程

其中 在整个平面上连续(这个条件较强,但我们的目的是 介绍方法,而不是追求条件的完美),此外还设 关于 满足 利普希茨(R. Lipschitz) 条件:

其中 为常数. 那么通过任一给定的点 ,该微分方程有一条且只有一条积分曲线.

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不得不说，这个条件给的真的是十分强了，一般来说我们的利普西茨条件不会是一个全局的，当然大家如果有兴趣可以翻一下常微分方程.

我们将微分方程化为积分方程：(即对两边积分.)

注意到要用不动点定理必须要把度量空间选好，也就是集合和度量函数选好，这个题中最重要的信息是连续，所以我们选择考虑，至于这个的大小，我们暂时不管：那么这个空间的一个映射作用的对象就是一个连续函数，我们定义：

由的连续性，我们知道是一个自映射，下证是一个压缩映射：

所以：

因此我们现在将取为合适的数就可以构造压缩映射.存在不动点：

注意到这里的是函数.由这个等式可以看出, 连续可微,且 就是微分方程 通过点 的积分曲线, 但只定义在 上. 考 虑初值条件 ,并再次应用不动点定理 便可将解延 拓到 上. 依此类推,于是可将解延拓到整个实 轴上.

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Fredholm方程解的存在性和唯一性

设有线性积分方程

其中 为给定的函数, 为参数, 核 是定义在矩 形区域 内的可测函数,满足

那么当参数 的模充分小时,方程  存在唯一的解 .

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证明：根据题意，我们选择这个度量空间，度量函数也就是正常的.类似上边的，我们定义映射：

第一步：首先证明这是一个自映射：即还是一个可积函数.注意到平方可积是指：

而这里的就应该是,我们带入：利用Holder不等式：

所以这确实是一个自映射，然后我们证明取得足够小就可以使变为一个压缩映射：

于是

所以是压缩映射，类似上边由存在性和唯一解.

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Volterra方程解的存在性和唯一性

有时候我们没办法直接构造压缩映射，需要我们做一些处理才行，这个Volterra方程就是一个很好的例子.

这个例子需要一个引理：

定理6：设 是由完备距离空间 到其自身的映射,如果 存在常数 以及自然数 使得

那么 在 中存在唯一的不动点.

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这个定理的证明十分容易，实在不明白可以看书.

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设 是定义在三角形区域 上的 连续函数,则沃尔泰拉积分方程

对任何 以及任何常数 存在唯一的解 , b].

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证明:作 到其自身的映射

则对任意的 , 有

其中 为 的距离.虽然我们很像把放缩为，但此时就不能保证这是一个压缩映射了！为此我们选择迭代:今用归纳法证明

当 时, 不等式已经证明. 现设当 时,不等式 成 立, 则当 时,有

故不等式对 也成立,从而对一切自然数 成立. 由 此可知

对任何给定的参数 , 总可以选取足够大的 ,使得

如同前面压缩映射可以得到解的存在性和唯一性.

国庆节快乐！