【课程】西南科大网教学院_数学分析20_6.1 不定积分的概念与性质

第六章  不定积分

 

    在数学上，一种运算往往都伴随着它的逆运算．例如：加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法．导数或微分运算也不例外，它们的逆运算就是本章讲的不定积分．

6.1  不定积分的概念与性质

 

    一、原函数与不定积分

       定义6.1.1  设函数在区间有定义，若存在函数，，有

或，

则称函数是在区间的一个原函数，简称是的原函数．

例如：，因而的一个原函数；（arcsin）＇=，因而是的一个原函数，由微分学还可知道，当C为任意一个常数时，，即一切形如（C为任意的常数）的函数都是在（—∞，+∞）上的原函数．于是，读者自然会提出如下两个问题：

 

    问题1：什么样的函数一定存在原函数？

    问题2：若函数存在原函数，的原函数有多少个？

    下面的定理是问题1的一个部分回答，即原函数存在的充分条件：

    定理6.1.1  若在区间连续，则在必存在原函数．

    下面的定理完满地回答了问题2．

    定理6.1.2  若是在区间的一个原函数，则是在区间的原函数的全体，其中C为任意常数．

    定义6.1.2  若在区间函数存在原函数，则原函数的全体，其中，称为的不定积分，记为

其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数．

下面来说明不定积分的几何意义，若是的一个原函数，则称的图

形为的一条积分曲线．如图6-1-1所示，的不定积分的图形是由的图形沿Y轴平移所得到的所有积分曲线组成的曲线族，这族曲线称为的积分曲线族．由图6-1-1可见，若在每一条积分曲线上相同横坐标的点处作切线，则这些切线的斜率都相等，即这些切线互相平行．

  

二． 基本积分表

    因为不定积分是导数（或微分）运算的逆运算，所以将基本求导公式反过来就是不定积分公式．于是，我们列出如下的积分公式．

    (1) 

    (2) 

    (3) 

    (4) 

    (5) 

    (6) 

    (7) 

    (8) 

    (9) 

    (10) 

    (11) 

    (12) 

    (13) 

三．  不定积分的性质

    (1) 

    (2)    或 

    (3)    其中是常数，且，