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从第二章微分学到第三章积分学都是微积分的主要部分，在高等数学中占有重要地位，而一元函数积分学是积分学的基础，以后要讲的重积分，曲线积分与曲面积分的概念与基本性质都与定积分相似，而其计算又最终都要化为定积分。 一元函数积分学包括不定积分与定积分两部分.定积分在几何、物理、工程技术、经济等诸多领域均有广泛的应用，是一元积分学的核心，从某种意义上讲，不定积分处于辅助地位，它的重要性就在于为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具。 在积分的计算中，分项积分法，分段积分法，换元积分法与分部积分法是最基本的方法，按函数类的及积分法中有理函数积分法则是最基本的，其他一些特殊函数类（如三角函数有理式，某些无理式）的积分法则是通过特定的换元法转化为有理函数的积分。 牛顿-莱布尼兹公式也称为微积分基本公式，它是定积分，乃至于整个微积分学的重要结果之一，之所以称为基本公式就是由于它联系了定积分与原函数、不定积分，并通过原函数联系了微分学，从实用的角度看，它为原函数计算定积分提供了理论依据，连续函数的变限积分的性质表明连续函数一定存在原函数。 反常积分（广义积分）是变限积分的极限，因而由定积分的计算法则加上极限运算法则就得到相应的反常积分（广义积分）的计算方法。 积分学的应用是它的概念，也就是分割、近似、求和、取极限这个方法的应用，其中关键步骤是分割与近似，因而在应用中“四步法”常常被微元法所代替，一元函数部分，要求掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（各种形式的平面图形的面积、平面曲线的弧长、曲率、曲率圆与曲率半径、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力、质心与形心等）及函数平均值。 一元函数积分的概念、性质 （一）原函数与不定积分的概念和基本性质
注意：基本积分表在积分计算的作用是，通过积分计算法则，把所求积分转化为积分表中的情形。 4.不定积分的简单性质 设f(x),g(x)在区间I上存在原函数，则在区间I上 ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k≠0为常数) 5.原函数的存在性 设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数。上限x，下限xo∫f(t)dt就是f(x)的一个原函数，其中xo∈I为某一定点 若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在I上不存在原函数 6.原函数的几何意义与力学意义 设f(x)在[a,b]上连续，则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数（指代数和-----x轴上方取正号，下方取负号）是f(x)的一个原函数。若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数 7.初等函数的原函数 初等函数在定义域区间上连续，因而一定存在原函数，但它的原函数不一定是初等函数，如：
等均积不出来，即被积函数存在原函数，但原函数不是初等函数 下面看下这个题目 列题：若f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数是---------？ 分析：f(x)的导函数是sinx,那么f(x)应具有形式-cosx+C1,所以f(x)的原函数应为-sinx+C1x+C2,其中C1，C2为任意常数。 类似这样的题目错误率极高，题目不难，有很多小伙伴把f(x)的原函数写成-cosx+C，在这一点上就没有真正意义上的理解什么是原函数，原函数与导函数之间关系搞不清楚了，所以看似简单的知识点，一定要重视起来，因为这些都是送分的题目，送分题如果不好好把握住，怎么能拿高分呢？ 今天讲解的不定积分是我们学习一元函数积分学的基础，好好把握并理解不定积分的概念及性质，特别是不定积分基本积分表，是做积分题目的源泉，望小伙伴们及时收藏并分享，好好把握，相信自己，你们是最棒的！ 下节课我们学习定积分的概念与基本性质。 大学高等数学: 第二章第五讲三种分段函数求导法, 再也不担心了 大学高等数学: 第二章第四讲几类复合函数求导法, 真该学习下 |
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