【原】《不定积分基本概念与性质》内容小结、题型、典型题与参考课件

一、原函数

如果在区间I上，F’(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数，即dF(x)=f(x)dx

原函数存在定理：若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数.

【注1】不连续的函数也可能存在原函数. 如

【注2】如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中任何两个原函数之间只相差一个常数．

二、不定积分

函数f(x)在区间I上所有原函数的一般表达式称为f(x)在I上的不定积分，并且有

其中C称为积分常数或任意常数，函数f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，其余符号对于积分而言为常数．F(x)是f(x)的在区间I上的任意一个原函数．

【注】不定积分是所有原函数的集合，结果一定不能缺少C！没有C则仅仅是原函数集合中的一个元素。

三、不定积分基本性质

【注】不定积分与求导、微分互为逆运算，交替使用相互“抵消”。最后的一个运算决定结果形式，最后运算为不定积分，则结果不能忽略任意常数C；为微分运算，则结果不能缺少dx.

四、不定积分线性运算性质

与求导的线性运算法则相对应，有不定积分的线性运算法则：

如果f(x)与g(x)的原函数存在，则

其中α和β为常数．

五、基本不定积分公式

由基本初等函数的导数基本公式，有如下函数不定积分基本计算公式，它们是求不定积分的基础，必须熟记和数量掌握！

【注1】以上公式中的x可以直接替换为任意可导函数表达式，如

【注2】对于不定积分结果在计算出来以后，一定要通过求导运算验证其结果是否就为被积函数。只要求导结果就为被积函数，则不管结果形式如何都为正确结果.