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学好这十个,大学数学一定不挂科!!!

2010-10-21  ricky0422

 1.数列极限  

       定义设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数 N,   使     得当n>N时,

  |Xn - a|<ε

  都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a。记为

  lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)

      

        2 确界原理

        任一有上界的非空实数集必有上确界(为实数)。对偶地,任一有下界的非空实数集必有下确界(为实数)。在扩张的实数系R中,认为没有上(下)界的非空实数集的上(下)确界为+∞(-∞)。这样,在R中任何非空集都有上、下确界。

 

        3 柯西收敛准则

  定理叙述:

数列{xn}有极限的充要条件是:对任意给定的ε>0,有一正整数N,当m,n>N时,有|xn-xm|<ε成立。

  将柯西收敛原理推广到函数极限中则有:

  函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是:对任意给定的ε>0,有Z属于实数,当x,y>Z时,有|f(x)-f(y)|<ε成立。

 

        4 函数的连续性

        如果函数f(x)在点x=a处及其附近有定义,而且函数在x=a处的极限值和f(a)相等,就说函数 f(x)在x=a处连续。
函数若在区间(m,n)内所有点上都连续,就说函数在区间(m,n)内连续。
        函数若在区间(m,n)内所有点上都连续,而且在x=m点上右极限等于f(m),在x=n点上左极限等于f(n),就说函数在区间[m,n]内连续。

 

        5 导数的定义

        一般地,假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ,x0 +a)内有定义;

  当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的(或变化率).

  

  

若函数f在区间I 的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作 f(x)' 或y',称之为f的导函数,简称为导数。

  函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在P0[x0,f(x0)] 点的切线斜率

 

 

 

         6 微分的定义

         设函数y = f(x)在x的领域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分,且是Δx的线性函数,故说函数的微分是函数增量的线性主部(△X→0)        (其实我觉得导数和微分就是一个东西,不用太区分开了的)

 

         7 拉格朗日中值定理

         如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

  

令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)

 

 

 

 

         8 泰勒公式 

         若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:

  f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn

  其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间

 

        9 不定积分

        设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x) C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=F(x) C。

  

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

  由定义可知:

  求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

 

        10 实数的完备性

         (1)确界原理      (上面有)

         (2)单调有界定理           若数列{an}递增(递减)有上界(下界),则数列{an}收敛,即单调有界函数必有极限。

         (3)区间套定理               有无穷个闭区间,第二个闭区间被包含在第一个区间内部,第三个被包含在第二个内部,以此类推(后一个线段会被包含在前一个线段里面),这些区间的长度组成一个无穷数列,如果数列的极限趋近于0(即这些线段的长度最终会趋近于0),则这些区间的左端点最终会趋近于右端点,即左右端点收敛于数轴上唯一一点,而且这个点是此这些区间的唯一公共点。(开区间同理)

         (4)有限覆盖定理           设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].开覆盖的定义:设S为数轴上的点集,H为开区间的集合,(即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内,则称H为S的一个开覆盖,或简称H覆盖S.

  若H中的开区间的个数是有限(无限)的,那么就称H为S的一个有限(无限)覆盖.

         (5)聚点定理                    聚点定理(也称为维尔斯特拉斯聚点定理)经典形式:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.       (聚点:设S为数轴上的点集,e为定点(它可以属于S,也可以不属于S),若e的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点,则称e为点集S的一个聚点. )

         (6)柯西收敛定理    (上面有)

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