【原】这个连续函数的原函数为什么不连续？

计算不定积分：

容易知道，函数 在全体实数范围内是连续的，根据原函数的存在性，可知它的原函数为连续的、当然也是可导的！通过改写函数 表达式，当 时，通过如下步骤可以计算得到函数的原函数，即

容易验算得到

虽然以上是通过 得到的原函数，但是作为一个函数 的原函数， 应该在 处是连续可导的，但是计算可得

也就是说，原函数 在 处并不连续，当然也就谈不上可导了！那么问题究竟出在哪里呢？

它是不是：连续函数一定存在有原函数，这个结论的特殊反例呢？

另外，基于微积分基本公式，直接应用上面计算得到的原函数 来计算 在指定区间上的定积分

是不是正确的呢？比如取积分区间为， ， ， ， ， ，分别会得到怎样的结果呢？这个计算验证可能比较复杂，咱们可以借助于数学软件，比如Mathematica来验证，完整表达式如下：

a=-3;b=-1;
f[x_]:=(1+x^2)/(1+x^4);
F[x_]:=1/Sqrt[2] ArcTan[(x^2-1)/(Sqrt[2]x)];
Integrate[f[x],{x,a,b}]-(F[b]-F[a])//FullSimplify

在Mathematica中显示如下：

计算时，只要将 的值修改为希望的区间端点值执行计算即可验证积分值是否与端点的原函数值的差是否相等！

为什么会得到以上的结果呢？你能找出原因给出合理的解释吗？是上面的计算方法不对，还是考虑不够全面呢？对给定的被积函数 能不能直接计算得到符合要求（既连续且可导）的原函数呢？如果可以，又该如何计算呢？