内生变量的交互项如何寻工具变量, 交互项共线咋办

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我们经常使用交互项来考察调节效应，比如下方这个回归方程，X1对Y的影响会随着X2的变化而而进行变化。

有时候，如果你担心在你的主项目X1，X2与交互项X1X2间存在共线性，那也可以用下面这个回归方程考察调节效应。

上面这两个回归方程唯一变化的就是交互项进行了“去中心化”处理。不管你是通过简单的算术推导还是像下面的模拟分析，我们发现两个回归方程中的交互项的系数β3是一样的。而唯一不同的就是主项目中的两个系数β1和β2。有一点需要注意：在交互项去中心化之后的第三列，与未带上交互项的第一列中，主项目β1和β2两系数都几乎一致。

交互项里的两个变量X1和X2如果都存在二阶项，那我们需要按照如下方式写回归方程，注：二次项X1和X2的平方也可以写成(X1-mean(X1))的平方和(X2-mean(X2))的平方。

下面才是今天关注的重点，就是当咱们交互项中的一个变量比如X2是内生性的变量，那么我们就可以使用X2的外生工具变量Z去形成一个新的交互项X1Z作为原来的交互项X1X2的外生工具变量工具变量。

In the case where, say, X2 is endogenous, X1 is exogenous, and Z is a validinstrument for X2, X1Z will be a valid instrument for X1X2.

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