精要复习上节课我们讲了导数与微分。 导数的“导”，可以理解为“方向”之意。 方向决定了函数的运行，所以“导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。 数学即哲学，世界是存在因果关系的，因果关系即为导数与原函数的关系。 导数的MATLAB求解，很简单： y=diff(fun,x) y=diff(fun,x,n) 最后介绍了导数的亲兄弟——微分。 微分是增量的线性主部。 先思考一个问题计算器或计算机怎么计算“正弦函数”？ 总不能查表吧？即使有表，那请问表又是怎么得到的呢？ 这个问题的本质是，sin函数是人为定义的一个三角函数，它表面上并由“可直接计算”的函数组成，sin这个表示是一个坚硬的外壳，那怎么办？ 泰勒展开公式的诞生，完美解决了这个问题，它把这一类函数的坚硬外壳彻底击碎，让所有看起来无从下手的函数，全都变成了——多项式。 泰勒展开公式初探先看看泰勒公式长什么样吧：  形式很多，这种容易记忆和理解 观察公式形式我们发现：
如果是第一次学，看不太懂很正常，先不急理解上面的结论，先看下面这个实际的例子吧—— 泰勒展开公式就是“多项式仿真”还是上面的问题，怎么把sin(x)化成一个多项式的形式？ 咱们在x0=0的位置按泰勒展开分解，可以自己动笔算算，结果为：  计算机就是这样计算正弦函数的 为什么没有n=2 4 6这些项？动笔的同学肯定知道，因为这些项的导数为0，消去了。 硬壳已击碎，下面咱们利用MATLAB画画，直观感受一下。 先只取第一项，先比较一下 sin(x) 与 x：  发现其实在0点附近，两个函数还是很像的，由其两者在0点的斜率几乎相同。 这也是为什么老师教我们，当x很小时，sin(x)可以用x的值去代替。 继续再加一项：  哎呀，重叠的区域更大了。其实，当项数越来越多，两个函数就越来越像！ 再加一项：  再加一项：  越多项，越像！ 文章最后会附上MATLAB源码，感兴趣可以自己试一试。 所以说，泰勒展开公式，是对展开点附近的函数，进行的一个“多项式仿真”。 仿真，就一定有误差，泰勒公式的仿真误差怎么样呢？ 可控的多项式仿真误差泰勒公式有无穷多项，但我们不可能计算出无穷多项，所以泰勒公式的另一种表达：  我们把从n+1往后所有的项给打包了，称为R，课本上叫它“佩亚诺型余项”，说实话时间一长我也记不住这个外国名，所以我一直习惯叫它“误差项”，还易于理解含义。 意思就是说，如果我只计算到n阶导数项，那么误差就是Rn了。 更绝的是，这个Rn被证明是x^n的高阶无穷小，关于高阶无穷小的概念我们以后会讲，这里理解为Rn起到的作用，一定比前面那些项的作用小，即可。 要接受误差，因为它无处不在 所以，我们要仿真一个“带硬壳”的函数，只要使用泰勒展开取有限几项，并保证误差在可接受的范围内，不就行了么？ 所以说，泰勒展开公式是一个误差可控的多项式仿真。 直观理解泰勒展开首先，我们先尝试理解最基本的2项多项式：  几何表达：  即，x 处的函数值，约等于 x0 处的函数值，再加上由导数引起的变化量。 上节课我们理解了，导数即原因，所以我们可以这样理解上式：  对未来的仿真计算 结果=现状+原因x时间。 由于原因（导数）是当前的原因，所以仿真预测的结果肯定不完全准确，不过，只要时间足够短，仿真结果就足够准确啦。 这也印象了我们上节的理解，“导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。 直观理解多项泰勒展开还不止如此哦，泰勒展开还有好多项呢！ |
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