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在前面的三篇专题文章（点击可直接查看） 中，我们讲述了二次函数压轴题的常见题型和解题方法， 本文再补充一下如何使用一线三等角这个解题利器，这样同学们就可以轻松应对很大一部分有难度的二次函数压轴题了。 一线三等角模型相信大家并不陌生，我们在秒杀中考数学压轴题之一线三等角模型一文中已经给出了它的证明以及在一般几何题中的应用。 为阅读方便，这里再次给出这个模型。 如下图，在直线BD上有三个相等的角：∠B，∠ACE和∠D， 那么△ABC∽△CDE. 这是因为： ∠3+∠2=∠A+∠B （三角形外角等于不相邻的两个内角和） ∵∠2=∠B ∴∠A=∠3 又∠B=∠D ∴△ABC∽△CDE. 得证！ 来个图形练一下同学们的火眼金睛吧， 如下图， ∠B=∠EDF=∠C, 请问能马上判定哪两个三角形相似呢？ 没错，是△BED和△CDF. 而二次函数题目中，隐含的一线三等角模型需要我们认真去发掘或构造，这里的等角一般都是直角。好题分享如下， 1. 基础题型 如图，二次函数y=-4/3 x^2 +10/3 x +2 与坐标轴分别交于A,B两点，作BC⊥AB交抛物线于点C，求C点的坐标。 解析： 作CH垂直于Y轴，垂足为H，易知△CHB相似于△BOA， ∴CH/HB=OB/OA=2/3. 设C点坐标(2a, 3a+2)，代入二次函数解析式，a可求，C点坐标易得。 2. 经典题型 如图，二次函数y= x^2 -2x -3 与坐标轴分别交于A,B,C三点，在直线BC下方的抛物线上是否存在一点P， 使得∠BPC=90°，且△BPC与△AOC相似？若存在，给出P点坐标，若不存在，请说明理由。 本题是非常经典的常考题型，最直接能想到的方法是设P点坐标（a, a^2 -2a -3)，然后根据两点之间距离公式求出△BPC三边，再根据勾股定理解未知数，还要验证相似比。复杂度不低。 我们来试试一线三等角模型. 假设存在这样的点P， 那么有两种情况，BP/CP=OC/OA=3或者CP/BP=OC/OA=3. 先看第一种情况，BP/CP=3. 如上图，过点P作y轴垂线PM交y轴于M. 过点B作PM垂线交PM轴于N. 令CM=a, PM=b, 根据一线三等角， PN=3a, BN=3b. 联立方程组 3a+b=3, 3+a=3b, 解得a=3/5, b=6/5. 所以P点坐标(6/5, -18/5). 经验证P点不在抛物线上。 同理可证明CP/BP=3的情况也不存在。 3. 第二种解法 如图，二次函数y=-0.5 x^2 -1.5 x +2 与坐标轴分别交于A,B,C三点，D在抛物线上且∠DCA=∠OCA, 求D点的坐标。 这题我们在《二次函数压轴系列之巧找等腰》一文中给出了下图利用构造等腰三角形的解题方法。 如果大家一时想不出上述方法，也可以试试我们的一线三等角模型。 如下图，过D点作y轴垂线DP， 过C点作DC垂线交x轴于Q. ∵∠CAO+∠ACO=90°， ∠ACQ+∠DCA=90° 而∠ACO=∠DCA, ∴∠CAO=∠ACQ. ∴AQ=QC. 设Q点坐标(a,0)， 根据AQ=QC，容易求得a=-1.5, OQ长度为1.5. 由一线三等角，△DPC相似于△COQ, DP/PC=CO/OQ=3/2. 设D点坐标(-3t,2+2t), 代入二次函数容易得到t的值从而求出D点坐标。 4. 巩固练习 如图，二次函数y=0.25 x^2 -2 x +3 与坐标轴分别交于A,B,C三点，P1,P2在抛物线上且P1B⊥BC,P2C⊥BC , 求P1/P2点的坐标。 同学们试一下吧，从P1,P2分别向X，Y轴作垂线，垂足为Q1，Q2. 图中两个绿色的三角形都和蓝色的三角形CBO相似, 易知OB/OC=2. 设OQ1=a, Q2P2=b，则P1,P2坐标如图所示。代入二次函数解析式,则a,b可求！ 5. 第三种解法 如图，二次函数y=ax^2 +bx +4 与y轴交于点B(0,4)，与x轴交于A点，过x轴上点C(2,0)作x轴垂线交抛物线于点D.已知∠DCB=∠DAB, tan∠DAC=3. 求二次函数的解析式。 本题我们在秒杀中考数学压轴题之1-2-3解题法 一文中给出了中规中矩的解法和1-2-3解题法。 1-2-3解题法速度快，但是解题过程出现在初中考卷上容易被判超纲， 所以特别适用于填空题的解题。我们来寻求一线三等角的第三种解法。
由∠DCB=∠DAB可知△BEC相似于△DEA. 进一步可知△DEB相似于△AEC. ∴∠EBD=∠ECA=90°. 过D点作y轴垂线DH交y轴于点H. 根据一线三等角，得到△DHB相似于△BOA.
设AC=m，则CD=3m, OA=2+m, 根据DH/HB=OB/OA, 得到HB=1+m/2. 所以3m=DC=HO=1+m/2+4. 解得m=2. 所以D点坐标(2,6), A点坐标(4,0). 二次函数解析式迎刃而解。 简单，干净，利索！！！ 6. 闯关测试 一线三等角解题法，同学们都掌握了吗？网上找了道看似很'复杂'的题目给大家练练手，检测一下。 如图，y=x^2+2x-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),ABCD为正方形，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度匀速向右运动，连接DP，过点P作DP的垂线交y轴于点E． 当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并求出这个最大值
本题其实挺简单的， 很显然△ADP相似于△OPE. ∴AD/OP=AP/OE. 设AP=t, 则OP=3-t, AD=4 故有4/(3-t)=t/OE. OE=(3t-t^2)/4=(-(t-3/2)^2+9/4)/4. 当t=3/2时，即P为AO中点时， OE有最大值9/16. 同学们有不清楚的地方欢迎提问。 （本公众号原创文章，转载须注明出处！） |
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