「初中数学」一元二次方程根的判别式在反比例函数中的应用

解与反比例函数有关的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况，用判别式来辅助计算.我们知道:当判别式(△)>0时<=>一元二次方程有两个不相等的实数根<=>相应的二次函数图象与x轴有两个不同的交点;当判别式(△)=0时<=>一元二次方程有两个相等的实数根<=>相应的二次函数图象与x轴有一个交点;当判别式(△<0)时<=>一元二次方程没有实数根<=>相应的二次函数图象与X轴无交点，利用这些关系就能解决有关函数图象的公共点问题.

【题目呈现】

一.无公共点(△<0)

1.若反比例函数y=K/x与一次函数y=x+2的图象没有公共点，求K的取值范围.

【分析】看到条件没有公共点，就应想到一元二次方程根的判別式(△)，于是化y=K/x，与y=x+2组成的方程组为:x²+2x一K=0，若此方程有两个不相等的实数根也即△>0，则函数y=K/x与一次函数y=x+2的图象有两个不同的交点，若有两个相等的实数根也即△=0，则函数y=K/x与一次函数y=x+2的图象有一个交点，若无实数根也即△<0，则函数y=K/x与一次函数y=x+2的图象无交点，所以，由△<0，即2²一4×1×(一K)<0，得K<一1.

2.已知抛物线y=x²+2x一m一2与x轴没有交点，则函数y=m/x的大致图象是(____)

【分析】由于抛物线与x轴无交点，∴△<0，即2²一4(一m一2)<0，解得m<一3，∴y=m/x的大致图象应选C.

二.有唯一公共点(△=0)

3.已知反比例函数y=K/x的图象过点A(3，1).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)若一次函数y=ax+6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式.

【分析】(1)把A(3，1)的坐标代入y=K/x得K=3，∴解析式为y=3/x.

(2)∵一次函数y=ax+6与反比例函数y=3/x的图象只有一个交点，∴它们联立化简后的一元二次方程根的判别式等于0，可求得a.化简后的一元二次方程为ax²+6x一3=0，△=36+12a=0，解得a=一3，∴一次函数的解析式为y=一3x+6.

三.有两个公共点(a>0)

4.如图，一次函数y=一x+8和反比例函数y=K/x的图象在第一象限内有两个不同的公共点，且一次函数的图象与y轴交于点C.

(1)求实数K的取值范;

(2)若△AOB的面积为24，求K的值.

【分析】(1)∵一次函数与反比例函数有两个不同的公共点，∴联立y=一x十8与y=k/X并化简得，X²一8x+K=0，由△>0，即8²一4K>0，解得K<16，又知K>0，∴0<K<16.

(2)这一问看上去条件少，我们设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，由y=一x+8，令x=0，可得y=8，∴OC=8，由于S△COB=x2OC/2，S△COA=x1OC/2，则S△AOB=S△COB一S△COA=24，即S△AOB=OC(x2一x1)/2=24，∴24=4(x2一x1)，∴(x2一x1)²=36，∴(x1+x2)²一4x1x2=36，由(1)知x1，x2为方程x²一8X+K=0，的两个根，∴x1+x2=8，x1x2=K，∴8²一4K=36，K=7.(这里巧用了根与系数的关系).还可以这样，过A点作AE⊥x轴于E，过B点作BF⊥x轴于F，如图:

由于S△AOE=S△BOF=K/2，∴S△AOB=S梯形AEFB=1/2(AE十BF)EF=1/2(y1十y2)(x2一x1)，而y1=一x1+8，y2=一x2+8，∴上式变为，(一x1+8一x2+8)(x2一x1)/2=24，整理得[一(x1十x2)十16](x2一x1)/2=24，由上边根与系数关系知x1十x2=8，∴上式化简为:x2一x1=6，结合x1十x2=8，可得x2=7，则y2=1，即B点坐标为(7，1)，∴K=7.(题中给出三角形的面积一般是不规则三角形面积，往往通过割补法，转化为规则图形面积的和或差进行计算，是一种化斜为直的思想，同学们需认真体会).

四.有公共点(△≥0)

5.若一次函数y=mx十6的图象与反比例函数y=n/x在第一象限的图象有公共点，求mn的范围.

【分析】由两函数解析式联立化简得，mx²+6x一n=0，由于有公共点，∴△≥0，即6²+4mn≥0，解得mn≥一9.

6.如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=一x+6于点A，B，若反比例函数y=K/x(x>0)的图象与△ABC的边有公共点，求K的取值范围.

【分析】当反比例函数图象过点C(1，2)时K最小，∴K=1×2=2，随着k的增大(K>0)，反比例函数图象离C点越来越远，至到与直y=一x+6只有一个公共点时K最大，所以联立y=K/x与y=一x+6得，x²一6x+K=0，此时△=0，即6²一4K=0，解得K=9，∴K的范围是2≤K≤9.

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