高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！

一、空间点、直线、平面之间的位置关系

1、平面的基本性质的应用

① 公理1：

公理1

② 公理2：

公理2

③ 公理3：

2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .

3、公理 2 三推论：

① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；

② 两条平行直线唯一确定一个平面；

③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .

4、点共线、线共点、点线共面问题

① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，

再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .

② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，

再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .

③ 证明点线共面问题的常用方法 ：

方法一：

先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

方法二：

先证明有关的点、线确定平面 α ，

再证明其余元素确定平面 β，

最后证明平面 α，β 重合 .

【例题1】如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，

BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .

(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；

(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .

例题1图

【解析】

(1) 证明：

∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，

∴ GH 是 △FAD 的中位线，

∴ GH ∥且= ½ AD ，

又 ∵ BC ∥且= ½ AD，

∴ GH ∥且 = BC，

∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .

(2) 证明：

方法一：

证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .

∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，

∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，

∴ EF∥BG .

由 (1) 可知 BG∥CH，

∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，

又 ∵ D∈FH，

∴ C , D , F , E 四点共面 .

方法二：

分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，

在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .

如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，

∵ BE ∥且= ½ FA，

∴ 点 B 为 MA 的中点，

∵ BC ∥且= ½ AD，

∴ 点 B 为 M''A 的中点，

∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,

∴ C , D , F , E 四点共面 .

二、异面直线的判定（方法）

1、定义法（不易操作）；

2、反证法

先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；

再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，

从而否定假设肯定两条直线异面 .

假设法在异面直线的判定中会经常用到 .

3、常用结论

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点 (A) 的直线是异面直线 .

【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .

(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；

(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .

例题2图

【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）

(1) AM 和 CN 不是异面直线 .

理由：

如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，

∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，

∴ MN∥A1C1 ,

又 ∵ AA1∥且=CC1 ,

∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，

∴ A1C1∥AC，

∴ MN∥AC，

∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，

故 AM 和 CN 不是异面直线 .

(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .

证明：

∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，

∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .

假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，

则存在平面 α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，

∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，

∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，

∴ 假设不成立，

∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .

三、异面直线所成的角

1、求异面直线所成角的方法

关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，

或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .

2、求异面直线所成角的步骤

① 通过作出平行线，得到相交直线；

② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；

③ 通过解三角形求出该角的大小 .

【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，

已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，

求 EF 与 AB 所成角的大小 .

例题3图

【解析】

要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，

所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .

取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，

使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .

【解答过程】

取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，

则有 EG∥AB，FG∥CD，

∵ AB = CD ,

∴ EG = FG ,

∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，

∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，

又 ∵ AB 与 CD 所成的角为 30°，

∴ ∠EGF = 150° 或 30°，

由 EG = FG , 可知 △GEF 为等腰三角形，

当 ∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，

当 ∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，

∴ EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° .