图形的认识---图形大小的计算

尼罗河

使得图形成为数学研究对象的真正动力，还是土地测量等生产实践，几乎所有涉及数学史的书都要提到古埃及的几何学，并且都认为几何学起源于古埃及。几何学之所以能够在古埃及得以发展，是与古埃及人的生活条件有关。古埃及地处非洲北部，与非洲的大部分平原一样，北非也是干旱荒芜之地，只有周期出现的尼罗河泛滥才会给这片土地带来生机和活力。尼罗河每年6月开始泛滥，洪水大约维持四个月，于是人们在每年10月洪水退去，土地干涸后开始播种，第二年尼罗河泛滥前收获完毕。当时洪水泛滥之宏伟是现代人难以想象的，古希腊历史学家希罗多德（公元前484-前425）曾经到过埃及，他在著作《历史》中记载：

“尼罗河在泛滥的时候，它不仅泛滥到三角洲上去，而且也泛滥到被认为是属于利比亚和阿拉伯的那些地方去；它泛滥到离河岸有两天的路程的地方，有时远些，有时则近些。

当尼罗河泛滥到地面上来的时候，只有市镇才可以被看你到高高的水面之上并且是干燥的，和爱琴海上的岛屿非常相似。只有这些市镇露在水面之上，而埃及的其他地方则完全是一片水。......船只实际上就是经过金字塔的近旁的......”

尼罗河泛滥对于古埃及人们的生活以及经济发展影响之重大，甚至政府的税收政策也与洪水有关。国家规定：根据每年洪水的高度和耕种的土地面积征税，关于这一点，希罗多德在《历史》这部书中是这样记载的：

“如果河水冲毁了一个人分得的土地的任何一部分土地，这个人就可以到国王那里去把发生的事情报告他，于是国王便派人前来调查并测量损失地段的面积，今后他的租金就要按照减少后的土地面积来征收了。我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了量地法，而希腊人又从那里学到了它。”

希罗多德是公元前5世纪的人，他关于古希腊人是从埃及那里学到几何学的论述应当是有道理的。事实上，现在通用的英文几何一词geometry源于古希腊语γεωμετρια，就是土地测量的意思，因为这个词是由γη（土地）和μετρια（测量）复合而成。也就是说，古希腊人从古埃及人那里学到了几何学。

莱茵德纸草书

古埃及人发明几何学完全是为了实际的需要，他们创造了一套有效的计算土地面积的方法，其中包括三角形，长方形和梯形，还包括圆面积的近似公式，这些被记录在公元前1700年左右的莱茵德纸草书上。现存的文献表明，虽然古埃及人并没有明确给出面积的定义，但是，古埃及人很清楚地知道：面积是对于平面物体大小的度量，他们很可能就是用长乘以宽来度量长方形的面积，并且把这种度量作为最基本的面积度量元素。如果是这样的话，那么这种思想是极为重要的，这就是现今大学数学教科书中普遍使用的勒贝格测度的原形。我们之所以可以做这样的猜测，是因为在莱茵德纸草书上记载，古埃及人用“四边形两组对边之和的一半的乘积”作为这个四边形的面积，如果令一个四边形的四条边依次为a,b,c和d，那么这个四边形的面积公式为

((a+c)/2)×((b+d)/2)

显然，当这个四边形为长方形，即a=c和b=d时，面积恰为“长乘以宽”。很多学者认为这个近似公式太粗糙，但是我们应该知道，古埃及人发明这个公式是为了测量耕种用的土地，而耕种用地大多近似为长方形或者直角三角形，并且古埃及人还知道，直角三角形的面积为长方形面积的一半。

最让人们吃惊的是古埃及人关于体积的计算，虽然古埃及人并没有给出体积的定义，但是他们清晰地用底面积乘以高来计算体积，莱茵德纸草书上的第41题就是一个求体积的问题：

“有一个圆柱形的仓库，底部圆面的直径是9，高是10，求体积”

得到的结论是10×64=640，显然这是高与底面积的乘积。计算底面积即圆的面积的公式是：

S=（d-d/9）²

其中d为圆的直径，因为在这个问题中d=9可以得到S=8×8=64。我们知道，圆面积的计算公式为S=πd²/4，令其等于64可以解得π=256/81=3.1605。

莫斯科纸草书上得第14题是一个更为复杂得求体积得问题，原题如下：

“如果有人告诉你，一个截四棱锥体高为6，底边长为4，顶边长为2，你就将这个4平方，得到16；又将它加倍，得到8；将2平方，得到4。把16，8，4加起来得到28。你要取6的三分之一，得到2。你要取28的2倍，得到56。看，它是56，你会知道它是对的。”

把其中的解题方法用现代符号表述：设上面的正方形的边长为a，下底正方形边长为b，高位h，那么截四棱锥的体积公式是：

V=(1/3)h(a²+ab+b²)

把a=2，b=4和h=6代入上面的公式，可以得到V=56。显然，当a=b时，上面的公式恰为底面积乘以高。计算体积是一件非常困难的事情，在今天，许多计算体积公式的证明需要利用微积分的方法，而在四千多年以前的古埃及人就得到了如此复杂的公式，实在是一件不可思议的事情。

胡夫金字塔

金字塔是人类创造的奇迹，金字塔的建造体现了古埃及人已经掌握了相当精确的几何学知识。以其中最大的胡夫金字塔为例进行说明，这是一个底为四方形的锥形体，原高146.5米(现高138米)，底边原长233米(现长227米)。令人吃惊的是，四个底边长度的误差仅为1.6厘米，这是底边长度的1/14000；四个底边直角的误差仅为12分，是直角的1/27000。这是一个在今天都很难把握的精度，而胡夫金字塔却是兴建于公元前2760年，距今近五千年。可惜的是，我们已经不知道当年古埃及人是如何进行测量才得到如此精确的结果的，他们很可能利用了直角三角形的边角关系。