16世纪的东方,大明帝国正从“隆庆新政”走向“万历中兴”,国力逐步增强,一度成为东亚霸主,但万历后期的不理朝政,也让明朝从极盛走向衰亡。 16世纪的欧洲却开始由衰转强:哥白尼发表日心论(波兰)、伽利略发明了温度计(意大利)、开普勒开始研究行星运动(德国)、麦哲伦环行世界(西班牙)、莎士比亚完成戏剧《理查三世》(英国)... 16世纪的世界地图 没错,此时的欧洲正处于文艺复兴时期,文学、艺术、天文、地理、医学、数学等都得到空前的发展,也是在这个世纪,代数取得了更大的进步,我们将从意大利的4位数学家说起。 一、卡丹在《大术》中的记载根据意大利数学家卡丹cardano《大术》一书记载,早在16世纪初期,意大利数学家费罗Ferro就掌握了如 p、q均为正数 型的三次方程求根公式,但Ferro对这项“绝技”秘而不宣,直到去世前才传给学生菲奥尔(Fior)。沉不住气的Fior在听说塔尔塔利亚(Tartaglia)也已经得到三次方程的求根公式后,并不相信,在1535年发起了对Tartaglia的挑战。 《大术》关于三次方程求解 要知道,Fior只是继承了老师“成果”,并没有创新和发展,而Tartaglia是自己捉摸的公式,结果可想而知,Tartaglia因能多解出如 p、q均为正数 型的三次方程大获全胜,并因此谋得了一个数学教授职位。 Tartaglia(1500-1557) 这场大赛过后,很多人都知道了三次方程是可解的,但是并不知道方法或公式,Tartaglia继续保守这个秘密,毕竟手里没有“绝技”是很危险的——这点从他取胜后便获得数学教授一事便可知。 意大利此时“学术上的封闭”对数学发展是很不利的,但Cardano跨出了重要的一步。在尝试了很多方法以后,Cardano终于从 Tartaglia哪里得到了一首25行诗——此诗晦涩难懂,但的确包含了三次方程的求根公式,并被Cardano破译了。在此基础上,Cardano的学生费拉里(Ferrari)解出了四次方程。这一系列成果最终出现在Cardano的《大术》一书中。因为首发,现在大家对于这一公式的叫法仍然是“卡丹公式”。 Cardano(1501~1576) 二、《大术》这样解三次方程《大术》一出,又一场腥风血雨开始了,但这无关方程的进展,此处略去。主要介绍一下Cardano在《大术》一书中对三次方程的处理: 【具体解答】 用符号表示解法,有一般性,但也是不易理解的,现在举一例说明; 卡丹到此为止,与复数的发现失之交臂。 Bombelli的L'Algebra 三、邦贝利受到的启发同时期的数学家邦贝利Bombelli注意到了解三次方程里面出现的“负数的平方根”问题,这里容易知道 有三个实根,但是求根公式得到的数里居然有负数的平方根,即 ,这大大促使数学家们对“复数”的好奇心,Bombelli发现复数应该是“共轭”出现的,并给出了运算法则。 四、欧拉的贡献值得注意的是,Cardano只给出了3次方程的一个解,但根据代数基本定理,一元n次方程有n个根,那另外两个根是什么? 这看似一个简单的问题,因为对“复数”认识的缺陷,要直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉Euler给出。 欧拉-Euler Euler从三次方程 的三个根出发得到一般三次方程的三个解: 五、韦达与代数当代中学生知晓法国数学家韦达(Viète,1540~1603)多半是因为著名的“韦达定理”,在一元二次方程中,韦达定理告诉我们: 但实际上,Viète作为“代数学之父”,对代数的贡献远不只此,他第一个有意识、系统地使用字母来表示已知数[辅音字母B,C,D等]、未知数[元音字母A/N)等]及其乘幂[A quadratus,A cubus 表示未知数的平方、立方]。这是代数学的一大进步,丢番图解题也使用符号,但都是一题一解,Viète则力求一般化,用统一的符号来进行运算以代替数的运算。 韦达(François Viète,1540~1603) Viète试图用“代换”的方式解二次、三次及四次方程,为了解二次方程 实际相当于解z^2的一元三次方程。这样就完成了从四次到三次转化。 【后记】 1.在解决一般二次、三次、四次方程的时候,Viète是如何消去它们的一次、二次、三次方项的呢?待定系数法可以很好的回答这个问题,如: 2.关于三次方程求解,还有一个类似的方法 3. 为了寻求二次、三次、四次方程的“共同点”,并借此探寻五次方程的求解方式,17、18世纪的数学家们做了不懈努力,其中以拉格朗日的“预解式”最为突出,这将在下节为大家介绍。 拉格朗日 |
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