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导言：
当方程中未知数的个数比方程的个数多时，我们就称这样的方程为不定方程。比如：3x-4y=6，方程只一个，但未知数却有两个，这就是不定方程。古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。
很明显，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有无数个，不定方程的解往往有无数个。我们这里介绍的不定方程，一般都会有条件限制，比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。
同时，我们这里介绍不定方程，最主要是介绍不定方程在解答应用题方面的作用。
例1．
求不定方程7x+11y=276的自然数解
解析：题中不定方程的限制条件就是x、y都是自然数
将不定方程7x+11y=276变形为x=（276-11y）÷7
由于x、y都是自然数，说明276-11y应该是7的倍数，
y可以从最小的自然数1开始试验
经过试验，y可取6、13、20
相对应，x=30、19、8
在解不定方程时，可将原方程变形，变为一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。
例2．大客车有48个座位，小客车有30个座位。现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大、小客车各多少辆？
解析：方法（一）列举法
通过画表列举的方法，一一尝试，最终把答案找出来。
方法（二）假设法
假设全部用小客车，需要10辆，另空出6个座位
由于题目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是换几辆小客车挪出的空位正好能换成大客车，即是48的倍数。经过尝试，退出3辆小客车，就有3×30+6=96人没座位，正好可乘两辆大客车。
所以，需要大客车2辆，小客车7辆
方法（三）不定方程
由于旅客人数、车辆数都是自然数，所以我们可以列出符合题意的不定方程，并求出它的自然数解。
设需要大客车x辆，小客车y辆
则
48x+30y=306 即
8x+5y=51
Y=（51-8x）÷5
由于y是自然数，所以51-8x应该是5的倍数
我们不难找出：x=2；y=7
（另注：在解这个不定方程时，我们还可以从奇偶数的角度来解
8x是一个偶数，51是个奇数，那么5y肯定是个奇数。那么5y的个位数字一定是5，由于和是51，可见8x的个位数字一定是6，即x=2或7，把它代入不定方程中，很容易得出：x=2；y=7）
例3．学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中、小宿舍共有多少间？
解析：设中宿舍x间，小宿舍y间，那么大宿舍就有（12-x-y）间
则
8（12-x-y）+7x+5y=80
即
x+3y=16
解得：y=1、x=13或y=2、x=10或y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1
由于总的宿舍间数是12间，所以前两种答案不符题意。
即
y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1
例4．某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元;超过10吨的,超过部分按每吨0.80元收费;张家比李家多交水费3.30元,如果两家的用水量都是整数吨,问张家和李家各交水费多少元?(两家所用水量均为整数吨)
解析:为了便于理解,题中所有单位为元的数字全部转化成以分为单位,这样就没有小数了
由于张家比李家多交水费330分,而330分既不是45的整数倍,也不是80的整数倍,说明一定是张家的用水量超过10吨,而李家的用水量不到10吨.
设张家用水x吨,李家用水y吨,且x>10,y<10,x,y均为自然数
则
(x-10)×80+10×45-45y=330
即
16x-9y=136
X=(136+9y)/16=8+(8+9y)/16
Y可取1、2、3、、、、9，经尝试，只有y=8时，x才是整数，x=13
所以，张家交水费：10×45+3×80=690（分）=6.9元
李家交水费:6.9-3.3=3.6元
例5.今年,祖父的年龄是小明的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明的5倍.又过几年后,祖父的年龄是小明的4倍.求祖父今年多少岁?
解析:这是一道有难度的年龄问题.题中除了两人的年龄的倍数关系,其余一概未知.
设小明今年x岁,祖父今年就是6x岁,y年后,祖父的年龄是小明的5倍
则
5(x+y)=6x+y
即 x=4y
又设m年后,祖父的年龄是小明的4倍,
则
4(x+y+m)=6x+y+m 即
2x=3y+3m
把x=4y代入2x=3y+3m,
得
8y=3y+3m
即5y=3m y=(3/5)m
由于y是整数,所以
m=5、10、15、20、、、
可算出
y=3、6、9、12、、、、
那么
x=12、24、36、48、、、
那祖父的年龄就是
72、144、、、、
很明显，只有当m=5，y=3，x=12时，祖父的年龄是72岁才符合实际。
在解不定方程时，如果能合理运用以下几个技巧，可以大大提高解题速度。
（1）系数上的考虑
如例1，7x+11y=276，我们有两种解法，一是变形为：x=（276-11y）÷7；二是变形为：y=（276-7
x）÷11。我们对照下这两种解法中的取值情况。第一种：Y有0---25种取值可能；而第二种X有39种取值可能，很明显，第一种解法比第二种解法相对来说速度会更快些。
但我们换个角度，由于X、Y都是自然数，由上述两种变形可知，X应是7的倍数，Y应是11的倍数，而1---276中7的倍数有39个，11的倍数有25个，那么，很明显，从倍数上考虑，第二种解法比第一种解法相对来说速度更快些。所以，在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不定方程。
（2）尾数上的考虑
例如解不定方程5X+4Y=59的自然数解。和的个位数是9，说明5X的个位数字一定是5，那么X一定取奇数；4Y的个位数字一定是4，那么Y只能是1、4、6、11、14。这样解的过程就容易多了，速度也上来了。
（3）奇偶性上的考虑
上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。59是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，5X就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，如1、3、5、、、、等等，也能起到简便解题过程的作用。
（4）倍数关系上的考虑
例如解不定方程2X+3Y=21的自然数解。我们注意到，21是3的倍数，3Y肯定也是3的倍数，2X=21-3Y，那么2X也应是3的倍数，这样X只能取是3的倍数的数了，如：0、3、6等等，这样就能起到简化解题过程的作用了。
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