图形抽象的思想基础---关于概念

罗素 西方哲学史

在数学中，几何学有着非常重要的地位，因为几何学的建立使得数学从经验转化为理性，从特殊上升为一般，从而成为一门科学。而几何学创立于古希腊也是有其历史的必然性，一方面，正如我们曾经谈到的，在地中海地区积累了大量的关于几何学的经验；另一方面，这个开创性的工作不能单纯依赖数学家的工作，在很大程度上也依赖于哲学家的工作，因为就思想基础而言，数学与哲学是不可分割的，特别是在最初创立的阶段，就像现代许多哲学家认为的那样。

我们从柏拉图那里已经感悟到了几何学的概貌，柏拉图的学生亚里士多德则把问题谈得更为具体，更为深刻。关于亚里士多德，我们在这里引用两位哲学史家的评论。罗素在他的《西方哲学史》中说：

“他生在希腊思想创造的末叶；而他死后一直过了两千年，世界才又产生出大体能与他相匹敌的哲学及”

杜兰特 哲学的故事

以撰写《哲学的故事》而闻名的杜兰特在他的那本书中写道：

“在集知识与理论之大成方面，直到斯宾塞时代，还没有人能与亚里士多德相提并论。即使在斯宾塞时代，也没有谁的建树能和他的一半相媲美。......如果哲学就是对同一性的追求，那么亚里士多德对于20世纪给予他的崇高称号，即千古第一哲人，是当之无愧的”

亚力士多德对后世影响之大，以至于今天我们研究任何一门科学时，都可能要用到他所创造德词汇，比如官能，准则，动机，目的，原则，形式，范畴，分类，能量，潜能，中庸，三段论，现实性等等。但是，对于数学产生巨大影响的是他的三段论以及所创立的一门赞新的学科，即逻辑学。

逻辑学是一门研究如何正确思维的科学和艺术。数学的核心工作是计算和推理，而计算法则的确立和推理方法的严谨都依赖思维的正确，因此，从数学逐渐形成为科学的那个时候开始，逻辑就渗透，支撑着数学的发展。逻辑学的本质告诉我们，在讨论或者研究问题的时候，每一个术语和概念的使用，每一步计算和推理的进展，都必须经得起最严格的检验。

数学要成为科学，第一个不可逾越的难关就是如何理解概念。我们曾经谈到，关于“数学是研究抽象了的东西”这个命题从古至今无人质疑，但是这个抽象了的东西是如何存在的，却始终是争论的焦点。很显然，这个“抽象了的东西”就是指数学中所涉及的最基本的概念。因此，就数学而言，这个争论的焦点是“数学概念是如何存在的”。这个争论从一开始就形成了所谓的“唯实论”和“唯名论”两派，一直延续至今。我们将会看到，这个争论的内容和形式与中国古代的名实之争是有很大区别的。

柏拉图认为，一般概念是具有客观存在性的，因此他认为，几何学的任务就是去发现客观世界中已经存在了的概念，从而掌握建立在概念基础上的知识，这便是“唯实论”的实质。关于数学，柏拉图坚持认为，人们只有通过思想认识了理想世界中的数学知识才有可能真正理解现实世界中的数学知识。关于这一点，17世纪的荷兰哲学家斯宾诺莎（1632-1677）说得更为明确，他认为，有一个为感官所感知得现实世界，也有一个为思想所推断得理想世界，进而支持柏拉图得想法。20世纪得哲学家，数理逻辑学家罗素也支持柏拉图得想法，他把问题阐述得更加直白，他在《西方哲学史》中说：

“我应当同意柏拉图得说法，即算学以及一般的纯数学并不是从知觉得来的。......因此，数学的真理，正像柏拉图所说，乃是与知觉无关的；它是非常奇特的一种真理，并且仅只涉及符号”

作为学生，亚里士多德在柏拉图那里学到了很多东西，但关于概念等基本命题，他不同意老师的观点，他有一句名言：“吾爱吾师，吾更爱真理”。亚里士多德认为，能够适用于一类物体中的所有成员的名称都是一般概念，这些一般概念是人从感性的经验中通过直观和抽象获得的，只存在于我们的主观意识之中，而不是看得见摸得着的客观存在，他们是“名”而不是“实”。

虽然“唯实论”和“唯名论”之争旷日持久延续至今，但是我想，数学的发展验证了亚里士多德的思考。正如《数的表示》中谈到的那样，人们从现实生活和生产实践中的数量中抽象出“二”这个概念，并用符号“2”来表示，因此，这个抽象是依赖于人的知觉的，也是依赖于人的思维的。但是，被抽象出来的一般概念在现实世界中并不存在，在现实世界中只存在具体的二粒米，二匹马，二条鱼等等，事实上，也只有完成了这种摆脱了具体内容的抽象，数学才可能得到发展。

柏拉图 理想国

但是，对几何学所需要的数学概念的抽象比代数学更为困难。许多人可能会认为，几何学概念的基础是图形，而图形比数量更为直观，因此是容易抽象的。事实上，越是直观的事物，越是与我们的日常生活联系密切的事物就越难抽象。人们在很早就完成了对自然数的抽象，使得自然数拜托了具体内容的束缚，可是，图形应当如何摆脱具体的内容呢？柏拉图在《理想国》中，再次借用苏格拉底之口谈到：

“你也知道，虽然他们利用各种可见的图形讨论它们，但是，处于他们思考中的实际并不是这些图形，而是图形所摹仿的那些东西。他们讨论的并不是他们所画的某个特殊的正方形或某个特殊的对角线等等，而是正方形本身，对角线本身。他们所画的图形乃是实物，有其水中的影子或影像。但是，现在他们又把这些东西当作影像，而他们实际要求看到的则是只有用思想才能“看到”的那些实在”

我想，柏拉图大概是在说，虽然学者们讨论几何学时要画图形，但是，他们讨论的并不是这些具体的图形，他们讨论的是一般意义上的图形。柏拉图认为一般意义上的图形才是真正存在的，这种存在只能通过思想才能看到，而通过肉眼看到的图形只不过是一般意义上存在的图形的影子。柏拉图的论述充满了神秘色彩，但是，我们能够理解柏拉图的心情，他希望能够得到图形的脱离了具体内容的一般概念，但是他既说不清楚应当如何抽象才能得到一般概念，也说不清楚经过抽象得到的一般概念应当是什么。柏拉图思考的问题过于深刻，而他又过于急切地希望得到问题的答案，因此不得不利用神秘色彩来进行掩饰。事实上，他提出的问题直到19世纪的末叶才得到解决。还是让我们在后续中循序渐进地来阐述这个问题。