二次函数压轴题，正方形的存在性问题

【题目呈现】

如下图，抛物线y=一X²/2十bx十c与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点B的坐标为(6，0)，点C的坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标;

(3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出Q点坐标.

【思路分析】

(1)由点C、点B的坐标已知，用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再化为顶点式可求出顶点D的坐标;

(2)设线段BF与y轴交于点F'(注意有x轴上方，下方两种情况)，设点F'坐标为(0，m)，由△F'BO∽△BDE，可得出点F'的坐标，再利用待定系数法求出直线BE的解析式，联立抛物线的解析式可求出点F的坐标;

(3)设对角线MN，PQ交于点O'，根据抛物线的对称性，结合正方形的性质，可点P、点Q必在对称轴上，设点Q坐标为(2，2n)，由正方形的性质可得出点M坐标为(2一n，n),∵点M在抛物线的图象上，可得出关于n的一元二次方程，解之求出n，代入点Q坐标，得出结论.

【答案与解析】

解:(1)∵点C(0，6)，点B(6，0)在抛物线y=一x²/2+bx十c上，代入可得，c=6，b=2，∴抛物线的解析式为，y=一x²/2+2x十6=一1/2(x一2)²+8，顶点D坐标为(2，8)

(2)

如图1，设线段BF与y轴交于点F'，设点F'的坐标为(0，m)∵∠F'BO=∠FBA=∠BDE，∠F'OB=∠BED=90°，∴△F'BO∽△BDE，∴OF'/OB=BE/DE，∵点B(6，0)，点D(2，8)，∴点E(2，0)，BE=6一2=4，DE=8-0=8，OB=6，∴OF'=BE×OB/DE=3，∴点F'(0，3)或(0，一3)，设直线BF的解析式为y=Kx±3，则有0=6K十3或0=6K一3，解得K=一1/2或K=1/2，∴直线BF的解析式为y=一x/2十3或y=一x/2一3，联立直线BF与抛物钱的解析式得:

综上可知，点F的坐标为(一1，7/2)或(一3，9/2).

(3)设对角线MN、PQ交于点O'如图2

∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，设点Q的坐标为(2，2n)，由正方形的性质，则可得点M坐标为(2一n，n)，∵点M在抛物线y=一x²+2x+6的图象上，∴n=一1/2(2一n)²+2(2一n)十6，即n²十2n一16=0，解得n1=√17一1，n2=一√/7一1，∴点Q的坐标为(2，2√17一2)或(2，一2√17一2).

【反思】求点的坐标，根据图形的性质，列出方程是关键。

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