等价转化——突破双变量存在性或任意性问题的“利器”

作者：蔡勇全  四川资阳外国语实验中学

双变量问题一直导数中难点问题，我们之前也写过相应的专题传送门：导数中双变量的那些事儿。今天的文章来自我们教研QQ群成员四川省资阳市外国语实验学校的蔡勇全老师。

双变量问题中有一类题型甚是让学生烦恼，当题目中穿插有两个及其以上“任意”或“存在”事，学生往往因为不知道如何等价转换，部分学生甚至机械的背诵结论。

 

杨春波老师更是把这个戏称为数学世界里的咒语

 

数学世界的咒语

等价转化是一种重要而有效的解题策略，也是把未能解决的问题转化成在已有知识范围内能够解决的问题的一种数学思想方法，通过不断地转化，可以使复杂、不规范、不熟悉的问题变为简单、规范、熟悉的问题．

 

本文结合实例，略谈等价转化数学思想在解答双变量存在性或任意性问题时的应用，任意与存在问题也可以冻结变量的法来处理。当题目中有两个变量时，我们冻结其中一个变量，剩下的变量当做单变量处理，下面结合具体的题型供大家参考．

一、等式型双变量存在性或任意性问题

（一）

此种类型的“等价转化”策略是利用f(x)“的值域是g(x)的值域的子集”来求解参数的取值范围.

解析

解析：

另外，求解例的变式的关键是要注意其中的量词.

（二）

此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域的交集不为空集”来求解参数的取值范围.

解析：

上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型的中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.

二、不等式型双变量存在性或任意性问题

（三）

此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)max＜g(x)min”或分离参数的办法来求解参数的取值范围.

解析：

另解：

解析：

另外，在例3的变式中的绝对值符号内所涉及的是两个不同函数，若绝对值符号内所涉及的是同一个函数，那又该怎样转化呢?

这方面可参看下文中的例6.

(四）

此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)min＜g(x)max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围.

解析：

另解

解析：

(五）

此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)max＜g(x)max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围.

解析：

（六）

此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)在区间A上的最大值与最小值之差小于M”来求解参数的取值范围，当然，此种类型中的“M”可以是常数，也可以是关于参数的代数式.

解析：

解析：

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对上述一系列形式相近、本质不同的含参成立性问题的辨析，不仅可以让我们从“变”的现象中发现“不变”的本质，而且可以帮助我们从“不变”的本质中探究“变”的规律，更重要的是可以使所学的知识融会贯通，提高我们的学习效率.