算术平均-几何平均不等式的经典证明（AG不等式）

对于n个正数 A,B ,C,D…..,则存在

1821年法国数学家柯西在他的名著《分析教程中》对AG不等式给出了一个精彩的证明，这个证明既严禁又独特

首先对n=2,很明显：

依次取n = 4, n = 8，…，最后取n = 2^m，我们得到

以上n取的是几何级数的形式:2, 4, 8,16,.......

如果n不是几何级数形式，不妨设比n大的最小数是2^m ，r=2^m-n ，令

对于n个正数 A,B,C,D,......和r个K,有

整理后得到：