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1 肖博数学小题专练·(二) 平面向量、复数、算法初步 一、选择题 1.(2017·长春质量监测(二))已知复数 z=1+i，则下列命题中正确的个数是( ) ①|z|= 2;② z =1-i;③z 的虚部为 i;④z 在复平面内对应的点位于第一象限。 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 ①|z|= 1 2+1 2= 2，①正确;②由共轭复数的定义知， ②正确;③对于复数 z=a+bi(a∈R，b∈R)，a 与 b 分别为复数 z 的 实部与虚部，故 z=1+i 的虚部为 1，而不是 i，③错误;④z=1+i 在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，④正确。故正确命题的个 数为 3，选 C。 2.(2017·合肥市第一次质检)已知复数 z=2+i1-i(i 为虚数单位)，那么 z 的共轭复数为( ) A.32+32i B.12-32i C.12+32i D.32-32i 答案 B 解析 z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=12+32i，所以 z 的共轭复数为12-32i，故选 B。 2 3.(2017·大理州二模)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的 中点，则 AE→·CB→=( ) A.-4 B.-3 C.4 D.2 5 答案 A 解析 AE→·CB→=(AD→ +DE→ )·(-AD→ )=(AD→ +12AB→)·(-AD→ )=-AD→ 2-12AB→·AD→ ，∵正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，∴AD→ 2=4，AB→·AD→ =0，∴AE→·CB→=-4。 4.(2017·成都第二次诊断)已知平面向量 a，b 的夹角为π3，且|a|=1，|b|=12，则 a+2b 与 b 的夹角是( ) A.π6 B.5π6 C.π4 D.3π4 答案 A 解析 因为|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+1+4×1×12×cosπ3=3，所以|a+2b|= 3，又(a+2b)·b=a·b+2|b|2=1×12×cosπ3+2×14=14+12=34，所以 cos〈a+2b，b〉=(a+2b)·b|a+2b||b|=343×12=32 ，所以 a+2b 与 b 的夹角为π6。 故选 A。 5.(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 最小值为( ) 3 A.5 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析 根据程序框图，第一次循环：S=100，M=-10，t=2，第二次循环：S=100-10=90M=1，t=3，由于输出 S 的值小于91，所以 N 的最小值是 2。满足题意。 6.(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7，第二次输入的 x 的值为 9，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为( )4 A.0,0 B.1,1 C.0,1 D.1,0 答案 D 解析 当 x=7，b=2 时，b2=4>7 不成立，7 不能被 2 整除，所以 b=b+1=3，此时 32=9>7 成立，a=1，所以第一次输出 a=1。当 x=9，b=2 时，b2=4>9 不成立，9 不能被 2 整除，所以 b=b+1=3，此时 32=9>9 不成立，9 能被 3 整除，a=0，所以第二次输出 a=0。 7.(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a+b|=|a-b|，则( ) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 答案 A 解析 依题意得(a+b)2-(a-b)2=0，即 4a·b=0，a⊥b，故选 A。 8.(2017·洛阳第一次统考)已知向量 a=(1,0)，|b|= 2，a 与 b 的夹角为 45°，若 c=a+b，d=a-b，则 c 在 d 方向上的投影为( ) A.55 B.-55 C.1 D.-1 答案 D 解析 依题意得|a|=1，a·b=1× 2×cos45°=1，|d|= (a-b)2=a2+b2-2a·b=1，c·d=a2-b2=-1，因此 c 在 d 方向上的投影等于c·d|d|=-1， 故选 D。 9.(2017·成都第二次诊断)若复数 z1=a+i(a∈R)，z2=1-i，且z1z2为纯虚数，则 z1 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限5 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 解析 z1z2=a+i1-i=(a+i)(1+i)2 =(a-1)+(1+a)i2 为纯虚数，则 a= 1，所以 z1=1+i，z1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，故选 A。 10.(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a=-1，则输出的 S=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B 解析 依次运行程序，直至程序结束。S=0，K=1，a=-1。第一次循环，S=0-1=-1，a=1，K=2;第二次循环，S=-1+2=1，a=-1，K=3;第三次循环，S=1-3=-2，a=1，K=4;第四次循环，S=-2+1×4=2，a=-1，K=5;第五次循环，S=2+(-1)×5=-3，a=1，K=6;第六次循环，S=-3+1×6=3，a=-1，K=7。由于 7>6，故循环结束。故选 B。6 11.(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC， AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与 BD 交于点 O。记 I1=OA→·OB→，I2 =OB→·OC→ ，I3=OC→ ·OD→ ，则( ) A.I1 C.I3 答案 C 解析 显然∠BOC 为锐角，所以 I1=OA→ ·OB→<0，I2=OB→·OC→ >0， I3=OC→ ·OD→ <0。如图，过点 B 作 BM⊥AC 于点 M，过 A 作 AN⊥BD 于点 N。因为△ABD 和△ABC 均为等腰三角形，所以 BN=ND，AM= CM，所以|OA|<|OC|，|OB|<|OD|，∠AOB=∠COD>π2，所以 I1>I3。所以 I3 12.(2017·湖北黄冈二模)已知平面向量 a，b，c 满足|a|=|b|=1，a⊥(a-2b)，(c-2a)·(c-b)=0，则|c|的最大值与最小值的和为( ) 7 A.0 B. 3 C. 2 D. 7 答案 D 解析 ∵a⊥(a-2b)，∴a·(a-2b)=0，即 a 2=2a·b，又|a|=|b|=1， ∴a·b= 1 2，a 与 b 的夹角为 60°。设OA→ =a，OB→=b，OC→ =c，以 O 为 坐标原点，OB→ 的方向为 x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 则 a= 1 2， 3 2 ，b=(1,0)。设 c=(x，y)，则 c-2a=(x-1，y- 3)， c-b=(x-1，y)。又∵(c-2a)·(c-b)=0，∴(x-1)2+y(y- 3)=0。即 (x-1)2+ y- 3 2 2= 3 4，∴点 C 的轨迹是以点 M 1， 3 2 为圆心， 3 2 为 半径的圆。又|c|= x 2+y 2表示圆 M 上的点与原点 O(0,0)之间的距离， 所以|c|max=|OM|+ 3 2 ，|c|min=|OM|- 3 2 ，∴|c|max+|c|min=2|OM|= 2× 1 2+ 3 2 2= 7，故选 D。 二、填空题 13.如果 z= 1-ai 1+i 为纯虚数，则实数 a 等于________。 答案 1 8 解析 设 z= 1-ai 1+i =ti(t∈R 且 t≠0)，则 1-ai=-t+ti， 1=-t， -a=t， a=1。 14.(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图。若输入 x 的值为 116，则输出 y 的值是________。 答案 -2 解析 由流程图可得 y= 2 x，x≥1， 2+log2x，0 所以当输入的 x 的值为 1 16时，y=2+log2 1 16=2-4=-2。 15.(2017·湖北七市联考)平面向量 a，b，c 不共线，且两两所成 的角相等。若|a|=|b|=2，|c|=1，则|a+b+c|=________。 答案 1 解析 ∵平面向量 a，b，c 不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为 120°。∵|a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+ 2b·c + 2a·c = |a|2 + |b|2 + |c|2 + 2|a||b|cos120°+ 2|b||c|cos120°+92|a||c|cos120°= 22 + 22 + 12 + 2×2×2× - 1 2 + 2×2×1× - 1 2 + 2×2×1× - 1 2 =1，∴|a+b+c|=1。 16.已知向量 a，b 满足|a|=2，|b|=1，且对一切实数 x，|a+xb|≥|a+b|恒成立，则 a，b 的夹角的大小为________。 答案 2 3π解析 |a+xb|≥|a+b|恒成立⇒a2+2xa·b+x2b2≥a2+2a·b+b2 恒成立⇒x2+2a·bx-1-2a·b≥0 恒成立，∴Δ=4(a·b)2-4(-1-2a·b)≤0⇒(a·b+1)2≤0，∴a·b=-1，∴cos〈a，b〉= a·b|a|·|b|=-12，又〈a，b〉∈[0，π]，故 a 与 b 的夹角的大小为2π3 。 |
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