必刷小题10 平面向量与复数一、单项选择题 1.(2022·临沂模拟)设向量a=(1,x),b=(x,9),若a∥b,则x等于( ) A.-3 B.0 C.3 D.3或-3 答案 D 解析 由a∥b,得9-x2=0,所以x=±3. 2.(2023·长沙模拟)设z(1-2i)=|3+4i|,则z的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 因为z(1-2i)=|3+4i|==5, 所以z====1+2i, 所以z的共轭复数为1-2i,它在复平面内对应的点(1,-2)在第四象限. 3.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.0 答案 B 解析 因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3. 4.(2022·聊城模拟)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由题可知,|a|=1,|b|=2,a·(a+b)=|a|2+a·b=0⇒a·b=-1, ∴cos〈a,b〉===-. ∵〈a,b〉∈[0,π],∴向量a与b的夹角为. 5.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 如图,连接AO,由O为BC的中点可得,=(+)=+, ∵M,O,N三点共线,∴+=1,即m+n=2. 6.定义:|a×b|=|a|·|b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( ) A.8 B.-8 C.8或-8 D.6 答案 A 解析 由已知可得cos θ==-, ∵0≤θ≤π,∴sin θ==, ∴|a×b|=|a|·|b|sinθ=8. 7.(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,且=3,则·的值为( ) A.- B. C.1 D.-8 答案 B 解析 如图所示,把△ABC放在直角坐标系中, 由于△ABC的边长为1,故B(0,0),C(1,0),A,∵点D,E分别是边AB,BC的中点, ∴D,E,设F(x,y),=,=,∵=3,∴⇒⇒F,=,=(1,0),·=. 8.(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边△ABC中,若点P是平面ABC内的任意一点,则·的最小值是( ) A.- B.- C.-1 D.- 答案 C 解析 如图,以AC为x轴,AC中点为原点建立平面直角坐标系,则A(-1,0),C(1,0), 设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y), ∴·=x2-1+y2=x2+y2-1≥-1,当且仅当P在原点时,取等号. 故·的最小值是-1. 二、多项选择题 9.(2022·潍坊模拟)若复数z1=2+3i,z2=-1+i,其中i是虚数单位,则下列说法正确的是( ) A.∈R B.=· C.若z1+m(m∈R)是纯虚数,那么m=-2 D.若,在复平面内对应的向量分别为,(O为坐标原点),则||=5 答案 BC 解析 对于A,====-i,A错误; 对于B,∵z1·z2=(2+3i)(-1+i)=-5-i,∴=-5+i; 又·=(2-3i)(-1-i)=-5+i,∴=·,B正确; 对于C,∵z1+m=2+m+3i为纯虚数,∴m+2=0,解得m=-2,C正确; 对于D,由题意得=(2,-3),=(-1,-1),∴=-=(-3,2), ∴||==,D错误. 10.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,则下列说法正确的是( ) A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b上的投影向量为b C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 答案 CD 解析 对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1), 则a·b=2-1=1>0,又a,b不共线, 所以a,b的夹角为锐角,故A错误; 对于B,向量a在b上的投影向量为 ·=b,B错误; 对于C,a-b=(1,2),若(a-b)∥c, 则-n=2(m-2),变形可得2m+n=4,C正确; 对于D,由2m+n=4,且m,n均为正数, 得mn=(2m·n)≤2=2,当且仅当m=1,n=2时,等号成立,即mn的最大值为2,D正确. 11.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中,点O,H,G分别是外心、垂心、重心.下列四个选项中结论正确的是( ) A.=2 B.++=0 C.设BC边的中点为D,则有=3 D.== 答案 AB 解析 如图, 对于A项,由题意得=2,AH⊥BC, 所以=2,所以A选项正确; 对于B项,设D为BC的中点, +=2=-, 所以++=0,所以B选项正确; 对于C项,因为D为BC的中点,G为△ABC的重心, 所以=2,=2,∠AGH=∠DGO, 所以△AGH∽△DGO, 所以=2,故C选项错误; 对于D项,向量,,的模相等,方向不同,故D选项错误. 12.(2023·潍坊模拟)已知向量=(1,2),将绕原点O旋转-30°,30°,60°到,,的位置,则下列说法正确的是( ) A.·=0 B.||=|| C.·=· D.点P1的坐标为 答案 ABC 解析 由题意作图如图所示, ∵⊥,∴·=0,故选项A正确; ∵PP1与PP2所对的圆心角相等,∴||=||,故选项B正确; ∵·=||||cos 60°=. ·=||||cos 60°=,故选项C正确; 若点P1坐标为, 则||=≠,故选项D错误. 三、填空题 13.设{e1,e2}为基底,已知向量=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三点共线,则k的值是________. 答案 2 解析 因为=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2, 所以=-=e1-2e2, 若A,B,D三点共线,则∥, 所以存在实数λ使得=λ, 故e1-ke2=λ(e1-2e2),所以λ=1,k=2. 14.已知i是虚数单位,则=________. 答案 解析 因为i2 021=i,2 022=2 022=2 022=i2 022=i2=-1, 所以=|-1+i|==. 15.(2022·泰安模拟)如图,在四边形ABCD中,=3,E为边BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________. 答案 解析 连接AC,如图所示, =+=+(+)=+, 所以=+, 则λ+μ=+=. 16.(2023·济宁模拟)等边△ABC的外接圆的半径为2,点P是该圆上的动点,则·+·的最大值为________. 答案 8 解析 ∵△ABC为等边三角形,其外接圆的半径为2, ∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系,如图所示, 则A(2,0),B(-1,),C(-1,-), 设P(2cos θ,2sin θ), 则=(2-2cosθ,-2sin θ),=(-1-2cosθ,-2sinθ),=(-1-2cosθ,--2sinθ), 则·+·=(2-2cosθ)(-1-2cosθ)+2sin θ(2sin θ-)+(2cosθ+1)2+(2sinθ-)(2sin θ+)=4+2cosθ-2sin θ=4+4cos, ∴0≤·+·≤8, 则·+·的最大值为8. |
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