初中数学，几何题中双点运动问题，确认两点运动变化是关键

真题求解

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，点P、Q同时从A点出发，分别做匀速运动.其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位；点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位。当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也随之停止运动。设这两个点出发时间为t秒，问：

⑴ P与Q哪一点先到达自己的终点?此时t为何值？

⑵ 当0<t<2时，判断以PQ为直径的圆与AD是否相切。

⑶ 以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围.若不可能，请说明理由。

解题思路提示

一.本题考查的知识点较多，非常考验同学们的综合运用知识的能力，特别是第⑵问和第⑶问中，充分体现了代数与几何知识相结合的特性，这些都是解答本题的重点和难点，请同学们牢记本题的解答方法，熟练掌握题中所用到的相关知识点；

二.本题用到相关知识有矩形的判定和性质，直角三角形勾股定理的应用，利用求根公式求解二次函数，等边三角形的判定，直角三角形中相应边比值生成三角函数值，这些知识在应用的过程中应该紧密联系，充分利用各知识点之间的关联性，请同学们多加练习，注意总结！

1、仔细审题，根据题中条件规定的点P和点Q的速度，结合AB，BC和AD的长度，你能分别计算出点P到点C的运动时间和点Q到点D的运动时间吗?

2、第⑵问中，过B作BELAD于E，连接PQ，证明PQ丄AD即可，可尝试通过证明△APQ∽△ABE得到，自己试试吧！

3、第⑶问中，过P1作P1M丄A1D1于M，连结OK，由线段BE和BC的长度，可以判定在2s内以PQ为直径的圆与线段CD是相离的，进而将t的范围缩小在2<t≤5之间；

4、可先令以PQ为直径的圆的圆心为O，当半径为OK时，⊙O与CD相切，根据点P和点Q的速度以及AB，BC和AD长度，不难得到C1P1和D1Q1的长度，根据P1M丄A1D1，可以得到D1M的长度，进而得到QM的长度，结合OK是梯形C1D1Q1P1中位线，可以得到OK的长度，得到P1Q1的长度，然后根据△P1MQ1是直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系，得到关于t的关系式，求解即可，快试试吧！

解题步骤

解：⑴点P先到达终点，理由如下：

∵AB=4，BC=6，AD=8；

∴点P的运动路程为10，点Q的运动路程为8；

∵点P的速度为每秒2个单位，点Q的速度为每秒1个单位；

∴点P运动完全程需要时间5秒，点Q运动完全程需要时间8秒，

∴点P先到达终点，此时时间t=5

⑵ 当0<t<2时，以PQ为直径的圆与AD相切，

理由如下：

过点B作BE丄AD于E，则∠BED=90°，连接PQ

∵∠D=∠C=90°，∠BED=90°

∴四边形BCDE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形）

∴BC=DE=6(矩形的对边相等)

∴AE=2

∴AB/AE=2

∵点P的速度为每秒2个单位，点Q的速度为每秒1个单位

∴AP/AQ=2

∴AP/AQ=AB/AE，∠A为公共角

∴△APQ∽△ABE(两边对应成比例且夹角

相等的两个三角形相似)

∴∠AQP=∠AEB=90°，即PQ丄AD(相似三角

形的对应角相等)

∴AD是以PQ为直径的圆的切线 (过圆上一点且垂直于过该点及圆心的线段的直线是圆的切线）

故当0<t<2时，以PQ为直径的圆与AD相切

⑶由⑵可知，当0<t≤2时，PQ的最大长度为

BE

∵BE丄AD， AB=4，AE=2

∴BE=√AB*2-AE*2=2×√3 (直角三角形勾股定理求值)

∵BE=2×√3，BC=6

∴BC>BE

∴当0<t≤2时，以PQ为直径的圆不能与CD相切

当2<t≤5时，设以P1Q1为直径的⊙O与C1D1相切于点K，此时

P1C1=10-2t，D1Q1=8-t；

过点P1作AM丄A1D1于点M，连结OK，则

OK丄C1D1

∵OK丄C1D1，Q1D1丄C1D1；

∴OK//Q1D1 (如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行)

∵OK//Q1D1，点O是Q1P1的中点

∴OK是梯形C1D1Q1P1的中位线 (平行于梯

形的一条底边且过任一腰中点的线段是该梯

形的中位线）

∴OK=1/2×(C1P1+D1Q1)=9-3/2ⅹt (梯形中位线等于上底加下底的和的一半)

∵P1Q1，是⊙O的直径OK是⊙O的半径

∴P1Q1=2OK

∴P1Q1=18-3t

同⑴可知

P1M=C1D1=2×√3，D1M=C1P1=10-2t，

∴Q1M=t-2

∵P1M=2×√3Q1M=t-2P1Q1=18-3t，P1M丄MQ1

∴(18-3t)*2=(2×√3)*2+(t-2)*2(直角三角形勾股定理）

解得，t=13-√15/2，或t=13+√15/2(舍去）

故当t=13-√15/2时，以PQ为直径的圆与CD相切.

解题小结

点的运动(特别是两个点的运动)，往往导致的是线的变化，这类题很多时候要把它作为动线问题，同时考虑两运动时的变化才能正确求解。

今天的分享就到这里，欢迎大家在评论区留下您的思路，让我们共同讨论，也许您的思路是最棒的。喜欢文章记得分享哦！