几何作图及相关的数学发展---由“尺规作图”得到的集合

在上一节，我们从单位线段δ出发，通过“尺规作图”的方法对线段的形式进行了扩充。为了讨论问题方便，对于有理数a，我们也用a表示线段aδ。这样，通过上一节的讨论，我们能够得到的线段的形式就可以归纳为下面的集合

W₁={a+b√c；a,b,c∈R} (1)

其中R为有理数的集合。可以看到（1）所示集合包含了所有的有理数，也包含了与有理数的根式有关的无理数。

下面我们说明，从有理数集合R出发，通过“尺规作图”只能得到集合W₁所示的线段形式。很显然，利用直尺只能得到直线，在平面直角坐标系中，一个直线方程可以表示为

ax+by+c=0

的形式；而利用圆规可以得到圆，其方程为

(x-s)²+(y-t)²=r²

解上面两个联立方程，可以得到圆与直线的交点的x的坐标，即为一个二次方程

Ax²+Bx+C=0

的解，其中A,B和C均为原直线方程和圆的系数的函数，均为有理数。由二次函数的求根公式，我们可以得到

x=(-B±√(B²-4AC))/2A

这恰为集合W₁中给出的线段的形式。因为在联立方程中y 与x的地位是对称的，因此，坐标y也只能具有集合W₁中线段的形式。

从集合W₁出发，通过“尺规作图”可以使线段的形式得的进一步的扩充。通过上面的分析我们可以看到，新的线段形式的集合为

W₂={a+b√c；a,b,c∈W₁}

同样的方法，k步操作后，我们可以得到W_k的形式：

W_k={a+b√c；a,b,c∈W_k-1} (2)

通过上面的讨论，我们可以进行逐步推断：从有理数集合R出发，通过“尺规作图”得到的线段的集合W₁是有理系数二次方程的根；因为W₂是基于W₁的，容易验证，W₂是有理系数四次方程的根；一般地，通过数学归纳法可以证明，通过k步操作得到的W_k是有理系数2^k次方程的根。

我们称以有理数为系数的方程的根为代数数，因此，我们可以得到结论：通过“尺规作图”得到的数至多是代数数。虽然代数数的集合是对有理数集合的一个扩充，但是这个扩充是相当有限的，像π和e这样的超越数是无法用代数数表示的。特别是在19世纪，德国数学家，集合论的创始人康托（1845-1918）用对应的方法证明了超越数要比代数数多得多，这更看到了几何作图的有限性。

在这里，我们有理由再次对戴德金（1831-1916）发明的戴德金分割方法表示质疑。戴德金分割是定义实数的经典方法。我们在这里提出质疑的目的不是为了否定，而是为了促进人们进一步思考数学的本原。现代数学的基础性的教学内容，已经被思维严谨的数学家们雕琢得几乎天衣无缝，但是，没有根本性得质疑就很难理解基本概念的本质，因此，这种“天衣无缝”也会给教学带来负作用，也就是说，使得在基础数学的教学过程中涉及数学核心思想的内容太少。正是因为我们在今日头条中的题目就是“数学思想”，所以不得不对一些最基本的数学概念提出质疑，从而引发人们的思考。

戴德金分割定义了实数，并且证明了实数的连续性。事实上，可以建立实数与数轴的对应关系，形象地描述戴德金分割：已经知道数轴上有有理数，然后再用一把刀子砍数轴，假设每一刀砍下去一定能够砍到一个数（戴德金并没有建立这个假设，但是他确认每次分割都能得到一个数，因此戴德金并没有比欧几里得走得更远），如果砍到的数不是有理数，那么就称这个数为无理数，进一步把有理数与无理数统称为实数。戴德金确信用这种方法，能把所有的实数都砍出来。戴德金又进一步证明：因为每砍一刀砍到的数都是实数，因此实数与数轴一样是连续的。现在我们质疑的是：戴德金用刀子砍的方法与我们用圆规任意画的方法有本质的差异吗？如果有差异，那么差异在什么地方呢？如果没有差异，为什么戴德金能得到所有的实数，而我们只能得到代数数呢？

通过上面的讨论我们可以看到，古希腊人用几何的方法解释了√2这样的无理数，就认为几何学比代数学更加符合逻辑因而也更加合理，但是，他们并没有走得更远，因为用几何解释代数的能力是相当有限的。通过上面的讨论我们还知道，不仅可以借助几何作图的方法来讨论代数问题，反之，也可以借助代数的方法来讨论几何作图问题。