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今天是3月14日，3.14，是圆周率π的一个常用近似值。π，又称圆周率，是圆周长与直径的比值，它是大家非常熟悉的一个基本常数。在数学上，同样基本的常数还有0，1，虚单位i，自然指数的底e等，在有最美公式之称的欧拉恒等式中，它们完美地结合在了一起：
人类认识π的历史不算长，但对π的精确值的追求一直没有停止过。早在公元前20世纪的埃及阿美斯纸草书中，就有了对π值的记载。 在几何时代，人们计算π值最常用的方法是割圆术，即做出圆的正n边形，n越大，值越精确，但计算也越麻烦。让中国人感到最骄傲的是，公元480年，祖冲之用割圆术把π的值计算到3.1415926，和3.1415927之间，并提出约率22/7和密率355/113，这是两个π的近似值。 这在当时是一个非常了不起的创举。今天我们用丢番图逼近法，可以很方便地推出，下一个比355/113更精确的分数是103993/33102，显然它比密率复杂得多。 用割圆术算π，是非常费力而效率低的。到了分析时代，人们用无穷级数法计算π。我们在中小学学到的π，是“圆周率”，定义为圆周长与直径的比值。在几何之外，它还有别的定义方式。
比如在数学分析中，π被定义为满足sin(x)=0的最小的正实数，而sin(x)可以用无穷级数来定义：
它的展开形式可能会好看很多： 这样，π就完全从几何中脱离出来了。
下面我们欣赏一下，分析时代的π之美：
尤其是Wallis乘积，美妙绝伦。
这是积分形式和连分数形式。 到了计算机时代，人们仍然喜欢用级数法来计算，效率比以前提高了千万倍。比如，高斯-勒让德算法，收敛非常迅速，只需25次迭代，就能算出π的4500万位数字。
此外还有一些奇怪的算法，比如在概率论中，有一种布丰投针法：
有一个平行且等距木板铺成的地板，板宽为t，用长为l的针随机扔到地板上，抛n支针，其中有h支针与线相交。则有：
那么现在算到多少位了呢？一个比较新的结果是，13,300,000,000,000位小数。有同学问，算这么精确，干什么用？其实在实际应用中，这么精确的π值完全用不上。假如我们要制造一个银河系，那么用40位精度的π，算出的银河周长误差仅相当于一个质子大小。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面我们看一下π本身的性质。 大家应该都知道，π是一个无理数，我们无法找到两个整数，使它们的比值等于π。 尺规作图规则的提出，是古希腊人的一大创举。用不带刻度仅供画直线的直尺，和仅能用给定圆心半径画圆弧的圆规来作图。这两个条件可以说是极为苛刻，但我们仍然能画出很多奇妙的图形，比如画一个标准的五角星。
古希腊留下了尺规作图的三大难题：三等分角，立方倍积，化圆为方。化圆为方问题，就是求作一正方形，其面积等于一给定圆的面积。这个问题等价于：已知线段长为1，求作长度为根号π，或π的线段。
在19世纪之前，虽然无数人试图解决这些问题，但无一例外地失败了。于是有人怀疑，它们或许是不可能做到的。19世纪，群论的研究使人们认识到了尺规作图问题的本质，它和有理系数多项式方程的解联系在一起。 已知单位长度1，若能用尺规作图法作出长度a，我们称a为规矩数。利用尺规作图法，我们可以将两条线段的长度进行四则运算，也可以求出一条线段长度的平方根。在抽象代数中，所有规矩数形成一个域，它们对加减乘除运算是封闭的。 现在问题就归结为，π是不是一个规矩数？ 首先，所有规矩数都是代数数，我们需要先判定π是不是代数数。 1882年，数学家林德曼证明，π不是代数数，而是超越数，也就是说，π不是任何一个整系数代数方程的根，我们也无法用有理数通过有限次四则运算和正整数次开方运算得到π。 从而推出，化圆为方是不可能的。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 费曼曾经说过，他希望能把π记到连续很多9的地方。这个位置不难找，在π的小数点后第762位开始，就出现了连续的6个9。这6个9的位置被称为费曼点。到了第193304位，又出现了连续的6个9。 进一步，既然π是一个无理数，或者说无限不循环小数，那么它的无限展开形式中，是不是包含了所有的有限位数字组合？你的账号密码，你心上人的生日，按照某种规律编码的莎士比亚全集，甚至自从进化成人之后所有人类说过的话写过的文章的总集，都隐藏在π的小数点后某一位之后？这个开始的那位数A或许离小数点极其遥远，哪怕远到宇宙那么大的硬盘都存不下3.1415…A这个数字的展开式，都无所谓，因为π是无限的。 真的是这样吗？ 在数学上，数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数，叫作正规数。埃米尔·博雷尔证明，正规数定理：几乎所有实数都是正规的，意思是，非正规数集合的勒贝格测度为0。 但遗憾的是，要证明一个无理数是正规数很困难，数学家至今不知道π是不是正规数。现在只证明了，π在2进制下是正规数。 那么我们只好放弃随机分布和机会均等的要求，只问π里是不是出现了所有可能的有限位数组合。数学家通过种种迹象，觉得这个问题的答案应该是肯定的，但仍然很遗憾，至今无法给出证明。甚至，我们不知道0,1,2…9这10个数字在π中是否无限次出现。 所以，我们不能期望在π里窥测心上人的真实想法，因为它有可能没被编码到π里。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 但不妨来玩玩这个游戏：在这个网站中，我们可以找到小数点后2亿位内，任一串数字出现的位置和次数：http://www./pi/piquery。 由于π的独特性质，在Geek界，已经形成了一种π文化。比如过3.14节。π记忆大赛是一种常规的智力竞赛项目，为此，人们还创作出多种记忆方法，比如： 山巅一寺一壶酒，二妞舞扇舞，把酒沏酒扇又扇，饱死啰。＝3.14159265358979323846 英文中更有趣，用英文字母的长度作为数字： How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of the geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.
＝3.141592653589793238462643 最后，我们来听一段用π谱的曲： |
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来自： zhangbaili > 《形而上的思考》
