「初中数学」一道反比例函数题的三种解法

教学中发现，同学们在解题过程中，不会思考，或者找不到方法，其实解题的过程，一方面可以是检查基础知识掌握的过程，同时也是解題方法积累的过程，另一方面可以反映同学们运用知识解决实际问题的能力。解题，是在正确的思维指导下，通过某种方法使条件与结果有机的相结合，最终得出结果。这里审题是基础，联想是关键，方法是手段。通过审题，联想与条件相关的知识，这就要牢记某些知识和方法，通过某种手段把条件与结果相勾通，从而使问题得解，我们学生大多没有储备某些知识和方法，或者说虽有方法但不会用，下面通过一例说明，以期同学们心领神会，举一反三.

【题目呈现】

☞如图，点A，点C在反比例函数y=a/x的图象上，点B，点D在反比例函数y=b/x的图象上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3/4，CD=3/2，AB与CD间的距离为6，求a一b的值.

【分析】代数法:设未知数，表示相关的量，列方程求解.由AB∥CD∥x轴，→想到A，B两点纵坐标相同，C，D两点纵坐标相同，又AB=3/4，CD=3/2，所以可设A点坐标为(xA，a/xA)，则B点坐标为(XA一3/4，b/(xA一3/4))，设C点坐标为(xC，a/xC)，则D点坐标为(xC+3/2，b/(xC+3/2))，∵AB与CD间的距离为6，∴可得b/(xA一3/4)一b/(xC+3/2)=6......①，a/xA=b/(xA一3/4)......②，a/xC=b/(xC+3/2)......③，解①②③组成的方程组，由②得xA=3a/4(a一b)，由③得xC=一3a/2(a一b)，把它们都代入①化简得a一b=3.(求解过程中，同学们一定要细心).

代数几何混合法:由上边方程组的②÷③得xA=一xC/2，代入①得，xC+3/2=一b/2，代入D点纵坐标得b/(xC+3/2)=一2，即CD到x轴的距离为2，由于CD与AB间的距离为6，所以AB到x轴间的距离为4，(由于3个方程，4个未知数，每个未知数不能算出具体的值)，这时我们想到结论是求a一b，联系反比例函数y=K/x(x≠0)系数K的几何意义，作出辅助线如图，

AQ⊥x轴于Q，BP⊥x轴于P，DN⊥x轴于N，CM⊥x轴于M，延长AB交y轴于E，延长CD交y轴于F，则a一b=S矩形MCFO一S矩形NDFO=S矩形MCDN=CM×CD，∵CD=3/2，CM=2，∴a一b=2×3/2=3.(也可用，a一b=S矩形ABPQ=AB×PB=3/4×4=3)

几何法，如上图，分析知a一b=S矩形ABPQ=S矩形MCDN，即AB×BP=MC×CD，就是3/4×BP=MC×3/2，∴BP=2MC，由题意知BP+MC=6，∴BP=4，CM=2，∴a一b=S矩形ABPQ=3/4×4=3(或a一b=S矩形MCDN=3/2×2=3).

【总结】

代数法解题，设未知数，列方程，思路单一，但有时计算量大，特别是考试时间有限的情况下，受到了限制.代数几何混合法，计算量相对小一些.几何法，往往要利用概念，定理等从图形的关系中找到突破口，从而解题，形象直观，但有时几何关系不好找，至于解题用什么方法为好，还需多归纳多总结，具体问题具体分析.

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