图形的量化---度量几何：图形的运动之矩阵运算

下面我们构造参照系，然后借助参照系考察什么样的运动可能是刚体运动。为了讨论方便，先引入现代代数中很重要的一种运算，即矩阵运算。矩阵运算在本质上是一种特殊的乘法运算，是一种符号表示，我们将会看到，利用这种符号表示来讨论几何问题是非常方便的。

矩阵运算 在二维空间，用大写字母A,B,C等表示矩阵，用小写字母a,b,c表示矩阵中的元素；用大写字母X,Y,Z等表示点，即二维向量，用小写字母x,y,z表示向量中的元素。如（2）式所示

称一个矩阵为单位矩阵，如果这个矩阵的对角线元素均为1，即a₁₁=a₂₂=1;非对角线元素均为0，即a₁₂=a₂₁=0。我们用I表示单位矩阵。

定义矩阵加法A+B为矩阵的对应元素相加，因此加法的和仍然是一个矩阵。定义矩阵乘法AB为A的行与B的列的对应元素相乘后相加，如（3）式所示。

由定义容易验证，矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。

下面，我们定义矩阵的逆运算。对于矩阵A，如果存在一个矩阵与A的乘积为单位矩阵，则称这个矩阵为A的逆矩阵，表示为A^-1，即有A^-1A=AA^-1=I。特别是，如果一个矩阵A满足A’=A^-1，则称这个矩阵A为正交矩阵，即A是正交矩阵当且仅当AA’=A’A=I。对于给定矩阵A，定义数量a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁为矩阵A的行列式，容易验证矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行列式为1或者-1.