形象直观的“2X2矩阵”乘法运算的本质原理

2X2矩阵是线性变换中的基本矩阵，关于它的运算大家早已熟悉，但你知道它背后的原理吗？

先来了解几个运算概念

保持i不变，j在平面上旋转，向一边挤压，这样的变换矩阵我们称为剪切矩阵。

由此可得出xy在剪切变换后的位置。

我们来看一个图形的两次变换：

i j逆时针旋转90度

在经过剪切变换，就得到如图的样式

所以这个变换就是旋转和剪切的复合变换，假设i j变换后的向量是i=<-1,0> j=<1,1>

就得到如下等式

整理就得到一个2X2矩阵，

这样的推导是否正确的，来看一个旋转和剪切的过程的例子。可以说明这一点

​我们分部来看2X2矩阵相乘的意义，M2是个剪切矩阵，M1第一列在图中的位置

M2乘以<1,1>就得到如图的位置

M2乘以<-2,0>就得到如图的位置

最后就得到如下结果

上述的原理具有普遍性：

最终得到通用的2X2矩阵乘法公式：

矩阵相乘是否满足交互率呢？

请点击输入图片描述

同样单位矩阵，先剪切变换，后旋转变换的图形：

i <1,0>，剪切后<1,0>，旋转90度后<0,1>

j<0,1>，剪切 后<1,1>，旋转90度后<-1,1>

同样单位矩阵，先旋转变换，后剪切变换的图形：

i<1,0>，旋转90度后<0,1>，剪切后<1,1>

j<0,1>，旋转90度后<-1,0>，剪切后<-1,0>

所以明显两个图形不一样，所以矩阵不满足乘法交换律

是否满足结合律呢？有兴趣的朋友可以自己验证下

以上就是矩阵复合运算，也就是2X2矩阵的乘法运算。