图文讲解【2018河北中考数学19题】求会标的外轮廓周长（压轴题）

【中考真题】

（2018·河北·19题·6分）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．

图2中的图案外轮廓周长是 ；

在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 ．

【思路探究】

根据题意，可以借助正多边形的外角和为360°，利用代数的方法，找出三个相邻的正多边形的内角、外角和边数之间的关系，从而确定何时外轮廓周长最大．

本题也可以在透彻理解题意的基础上，借助几何直观和推理思考，发现尽量让中间的小正多边形的内角最小，则左右两侧的多边形的内角就越大，其边数也就越多，从而确定最大的外轮廓周长

【解答过程】

解：第一个空：

根据多边形边长均为1，可以逐个数出图2的图案外轮廓周长是14．

但是还应找到一般方法，这样有利于第二个问题的解决．

观察图形，图2中有三个正多边形，

由于每两个相邻的正多边形都有一条公共边，

因此把每个正多边形的周长减去相邻的边长，就得到外轮廓周长，

所以图2可以这样来计算：（4﹣2）+（8﹣2）+（8﹣2）=2+6+6=14．

第二个空：（方法一：借助代数方法）

如图1，设∠BPC=2x，则中间正多边形的外角为180°﹣2x，

∴2x的值只能为60°，90°，120°和144°，

显然，当x越小时，周长越大，

∴当x=30时，外轮廓周长最大，此时图案定为会标，

第二个空：（方法二：借助几何直观）

在透彻理解本题阅读材料的基础上，根据图1，直观思考和想象图形角度和边数的变化，可以发现当中间正多边形的内角∠BPC越小，左右两侧的正多边的内角∠APB和∠APC就越大，则相应正多边形的边数就越大，那么该图标的外轮廓周长也就越大．

显然，∠BPC最小是60°，为正三角形，此时左右两侧正多边的外角为30°，此时正多边形的边数是360÷30=12，

故该图标的外轮廓周长即为（3﹣2）+（12﹣2）+（12﹣2）=1+10+10=21．

故第二个空答案是21．

【考法解读】

本题以材料阅读理解和探究问题的呈现方式，考查了正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，运用各外角相等，且外角和为360°是解题的关键．本题更是以多边形为载体，考查了同学们借助几何直观和几何推理进行思考和解决问题的能力，同时也需要具有相当的数学阅读能力作为解决本题的前提．

近年中考试题中多次考查到正多边形的有关知识，属于较高频次的考点，在学习和复习中需要牢固掌握正多边形的有关内角、外角和边数等有关知识，同时往往需要借助几何图形的直观性来解决问题，也渗透了数形结合的数学思想方法。

【知识方法】

本题用到的主要知识是正多边形的有关概念，正多边形与圆有密切的联系：

（1）正多边形：

各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．

（2）正多边形与圆的关系：

把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．

（3）正多边形的有关概念:

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

（4）多边形的内角和、外角和

n边形的内角和为180°×（n﹣2），n边形的外角和是360°．

【变式训练】

〖习题1〗边长为4的正方形ABCD的两条对角线交于点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意转动，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当正六边形EFGHIJ的边长最大，且EJ∥AD时，tan∠DAE= ．

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