五年级奥数专题：余数与同余问题

【知识要点】

1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数

2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。

3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。

【典型例题】

例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？

 

解：因为：被除数=除数×8+16，并且被除数+除数=463―8―16＝439，所以除数=（439－16）÷（8+1）=47，被除数=47×8＋16=392.

例2、  被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？

解：被3除余2的数有2，5，8，11，…其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而［3，5］=15，所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。

例3、  五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？

解：［3,4,5,6］=60,    60－1=59(人).

例4、  小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？

解：设除数为m,正确的商位q，余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m，商为q－3，余数仍为r。因为：171=m×q+r

                     117= m×（q－3）+r

于是171 －117= （m×q+r）－（m×q－3 m+r）  得m=18.

【提高】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？

解：这个三位数除以5余4，所以它的个位数字是4或9，因为个位数字是百位数字的3倍，所以个位数字只能是9，百位数字是3.因为这个数除以11余3，所以它的十位数字=3+（9－3）=9，这个三位数是399.

【竞赛】例6、1¹+2²+3³+4⁴+5⁵+6⁶+7⁷+8⁸+9⁹除以3的余数是多少？

解：由数的整除性质和同余性质可推知：

（1）3的倍数的任何次方（0除外）除以3的余数为0，可知3³⁺6⁶⁺9⁹ 除以3余0.

（2）不是3的倍数的偶次方除以3的余数为0，可知2²+4⁴+8⁸除以3余1.

（3）1¹除以3余1，5⁵与2⁵对于3同余，它们除以3余2. 7⁷与1⁷对于3同余，它们除以3余1.     所以（1+2+1）÷3=1……1。

【课后分层练习】

A组：入门级

1、被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？

2、两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是多少？

3、有民兵在操场上列队，只知人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共有民兵多少人？

4、一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？

5、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日式星期几？

B组：进阶级

1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

2、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

3、求478×296×351除以17的余数。

4、在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？

C组：挑战级

1、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

2、学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？

3、已知2008被一些自然数除，得到余数都是10，这些自然数共有多少个？