高考数学：2019全国百强名校联考检测题精析！构造类导数压轴小题

经典例题：[2019湖南五市十校高三联考题]

设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xln·f′(x)<-f（x），则使得(x^2-2x-8)f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）

A．(-2，0)∪(4，+∞)

B．(-∞，-4)∪(0，2)

C．(-∞，-2)∪(0，4)

D．(-∞，-2)∪(4，+∞）

思路分析：根据题意，设g(x)=lnx·f（x)，对g(x)求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得g(x)在(O，+∞)上为减函数，分析g(x)的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间(0，1)和(1，+∞)上，都有f(x)<0，结合函数的奇偶性可得在区间(-1，0)和(-∞，-1)上，都有f(x)>0，结合题设不等式得f(1)<0，则f(-1)>0，进而将不等式变形转化，可得x的取值范围．

解析：设g(x)=lnx·f(x)，则x>0时，g′(x)=1/xf(x)+lnx·f′(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上为减函数，且g(1)=0，则在区间(0，1)上，g(x)=lnx·f(x)>0，又lnx<0，所以f(x)<0；在区间(1，+∞)上，g(x)=lnx·f（x)<0，又lnx>0，所以f(x)<0．所以当x∈(0，1)∪(1，+∞)时，f(x)<0，由f(x)为奇函数知，在区间(-1，0)和(-∞，-1)上，都有f(x)>0．在题设不等式中令x=1，知f(1)<0，则f(-1)>0，所以(x2-2x-8)f(x)>0等价于x^2-2x-8>0和f(x)>0或x^2-2x-8<0和f（x)<0成立，解得x<-2或0<x<4，则x的取值范围是(-∞，-2)∪(0，4)．故选C．

答案：C

总结：本题主要考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系．以及不等式的解法，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学抽象、数学运算．